26. Биссектрисы двух углов при одной стороне параллелограмма делят другую его сторону на три равные части. Найдите отношение сторон параллелограмма. (Будьте внимательны: в этой задаче возможны 2 случая!)

Обозначим параллелограмм ABCD, где AB — сторона, на которой лежат вершины углов, а CD — противоположная сторона. Пусть длины соседних сторон равны AB = CD = a и AD = BC = b. Проведём биссектрисы углов A и B до стороны CD.

Из свойства биссектрисы и параллельности сторон получаются отрезки от концов CD до точек пересечения биссектрис с CD, каждый длиной b. Поэтому на CD отмечены точки, удалённые от концов на b.

Поскольку эти две точки делят CD на три равные части, возможны два расположения:

1. Точки — границы трёх частей. Тогда b = a/3, поэтому отношение большей стороны к меньшей равно 3:1.
2. Одна из точек совпадает с серединой CD, а другая расположена на расстоянии b от конца; равенство трёх частей даёт a = 3b/2. Поэтому отношение большей стороны к меньшей равно 3:2.

Ответ: 3:1 или 3:2.