26. Катетінің ұзындығы 2√2 болатын теңбүйірлі тік бұрышты үшбұрышқа ауданы ең үлкен болатын тіктөртбұрыш іштей сызылған. Тіктөртбұрыштың екі төбесі гипотенузада, ал қалған екі төбесі катеттерде орналасқан. Тіктөртбұрыштың қабырғаларының ұзындығын табыңыз

Шешімі:

Берілгені:

• Теңбүйірлі тік бұрышты үшбұрыш.
• Катетінің ұзындығы \( a = 2\sqrt{2} \).
• Іштей сызылған тіктөртбұрыш.
• Тіктөртбұрыштың екі төбесі гипотенузада, екі төбесі катеттерде жатыр.

Табу керек:

• Тіктөртбұрыштың қабырғаларының ұзындығы.

Іздеу жолдары:

Теңбүйірлі тік бұрышты үшбұрыштың катеттері өзара тең және \( a = 2\sqrt{2} \). Гипотенузаны \( c \) деп белгілейік. Пифагор теоремасы бойынша:

\[ c^2 = a^2 + a^2 = (2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 = (4 \cdot 2) + (4 \cdot 2) = 8 + 8 = 16 \] \( c = \sqrt{16} = 4 \).

Енді тіктөртбұрышқа көңіл аударайық. Тіктөртбұрыштың бір қабырғасы \( x \), екінші қабырғасы \( y \) болсын. Үшбұрыштың гипотенузасы \( c=4 \) және катеттері \( a=2\sqrt{2} \).

Үшбұрыштың катеттерімен параллель болатын тіктөртбұрыштың қабырғалары \( x \) және \( y \) болсын. Тіктөртбұрыштың ауданы \( S = x \cdot y \). Ауданы ең үлкен болуы керек.

Тіктөртбұрыштың гипотенузада жатқан екі төбесі үшбұрыштың гипотенузасында орналасқан. Қалған екі төбесі катеттерде жатыр. Тіктөртбұрыштың қабырғалары \( x \) және \( y \) үшбұрыштың катеттеріне параллель болмайды. Олар катеттер мен гипотенузаға қатысты белгілі бір бұрышпен орналасқан.

Егер тіктөртбұрыштың қабырғалары \( x \) және \( y \) болса, және оның екі төбесі гипотенузада, ал екі төбесі катеттерде жатса, онда тіктөртбұрыштың ауданы ең үлкен болуы үшін, тіктөртбұрыш квадрат болады. Бұл жағдайда тіктөртбұрыштың қабырғалары үшбұрыштың катеттерінің жартысына тең болады.

Тіктөртбұрыштың гипотенузада жатқан қабырғасы \( x \) және катеттерде жатқан қабырғасы \( y \) болсын.

Геометриялық есептеулер бойынша, ауданы ең үлкен болатын іштей сызылған тіктөртбұрыш, оның бір қабырғасы гипотенузаға параллель және үшбұрыштың биіктігінің жартысына тең болады. Бұл жағдайда тіктөртбұрыштың қабырғалары:

• \( x = \frac{c}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
• \( y = \frac{a}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \)

Егер тіктөртбұрыштың екі төбесі гипотенузада, ал қалған екі төбесі катеттерде орналасса, онда тіктөртбұрыштың ауданы ең үлкен болатын жағдайда, тіктөртбұрыш квадрат болады, яғни оның қабырғалары тең болады.

Бұл жағдайда тіктөртбұрыштың қабырғалары:

• \( x = y = \frac{a}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \)

Мұнда \( x \) - катеттерде орналасқан төбелерден шығатын тіктөртбұрыштың қабырғасы, \( y \) - гипотенузада орналасқан төбелерден шығатын тіктөртбұрыштың қабырғасы.

Ауданы ең үлкен болатын тіктөртбұрыштың қабырғалары \( \sqrt{2} \) және \( \sqrt{2} \) болады.

Есептің шешімі:

Тіктөртбұрыштың ауданы \( S = xy \). Ауданы ең үлкен болу үшін \( x = y \) болуы керек (квадрат).

Сәйкес қабырғалар:

• \( x = \frac{a}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \)
• \( y = \frac{a}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \)

Нәтижесінде, тіктөртбұрыштың қабырғалары \( \sqrt{2} \) және \( \sqrt{2} \) болады.

Немесе басқаша шешімі:

Тіктөртбұрыштың қабырғалары \( x \) және \( y \) болсын. Үшбұрыштың катеті \( a = 2\sqrt{2} \).

Тіктөртбұрыштың гипотенузада орналасқан қабырғасы \( x \) және катеттерде орналасқан қабырғасы \( y \) болсын.

Үшбұрыш пен тіктөртбұрыштың ұқсастығын пайдаланып, \( \frac{y}{a} = \frac{c-x}{c} \) теңдігін аламыз.

\[ \frac{y}{2\sqrt{2}} = \frac{4-x}{4} \]

\[ y = 2\sqrt{2} \cdot \frac{4-x}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}(4-x) = 2\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}x \]\[ y = 2\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}x \]\[ S = x \cdot y = x \left( 2\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}x \right) = 2\sqrt{2}x - \frac{\sqrt{2}}{2}x^2 \]\[ \frac{dS}{dx} = 2\sqrt{2} - \sqrt{2}x \]\[ 2\sqrt{2} - \sqrt{2}x = 0 \]\[ \sqrt{2}x = 2\sqrt{2} \]\[ x = 2 \]\[ y = 2\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}(2) = 2\sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2} \]\[ \text{Ендеше, тіктөртбұрыштың қабырғалары } 2 \text{ және } \sqrt{2} \text{ болады.} \]

Ответ: Тіктөртбұрыштың қабырғалары \( \sqrt{2} \text{ және } 2 \).