26. Найдите производную функции f(x) = x³ sinx

Решение:

Для нахождения производной функции \( f(x) = x^3 \sin x \) будем использовать правило произведения. Формула для производной произведения двух функций \( u(x) \) и \( v(x) \) выглядит так: \( (uv)' = u'v + uv' \).

В нашем случае:

• \( u(x) = x^3 \), тогда \( u'(x) = 3x^2 \) (производная \( x^n \) равна \( nx^{n-1} \)).
• \( v(x) = \sin x \), тогда \( v'(x) = \cos x \) (производная \( \sin x \) равна \( \cos x \)).

Теперь подставим эти значения в формулу производной произведения:

\[ f'(x) = (x^3)' \sin x + x^3 (\sin x)' \]\[ f'(x) = 3x^2 \sin x + x^3 \cos x \]

Ответ: Производная функции \( f(x) = x^3 \sin x \) равна \( f'(x) = 3x^2 \sin x + x^3 \cos x \).