26. Вершина параллелограмма равноудалена от середин двух его сторон. Докажите, что этот параллелограмм — ромб.

Пусть в параллелограмме ABCD вершина A равноудалена от середин M и N двух сторон, противоположных ей: M — середина BC, N — середина CD. Обозначим векторы AB и AD через \(\vec u\) и \(\vec v\).

1. Так как M и N — середины соответствующих сторон, \(\vec{AM}=\vec u+\frac{1}{2}\vec v\), а \(\vec{AN}=\vec v+\frac{1}{2}\vec u\).

2. По условию AM = AN. Возведём равные длины в квадрат и раскроем скалярные произведения:

   \(\left|\vec u+\frac{1}{2}\vec v\right|^2=\left|\vec v+\frac{1}{2}\vec u\right|^2\),

   \( |\vec u|^2+\vec u\cdot\vec v+\frac{1}{4}|\vec v|^2=|\vec v|^2+\vec u\cdot\vec v+\frac{1}{4}|\vec u|^2\).

3. Сокращая одинаковые слагаемые и перенося оставшиеся, получаем \(|\vec u|^2=|\vec v|^2\). Значит, AB = AD.

4. В параллелограмме противоположные стороны равны: AB = CD и AD = BC. Поэтому все четыре стороны равны.

Следовательно, параллелограмм ABCD — ромб.