260. Покажите, как вывести из признака Паскаля признак делимости: а) на 3; б) на 9.

Запишем натуральное число в десятичной системе: \(N=a_k10^k+a_{k-1}10^{k-1}+\dots+a_1\cdot10+a_0\), где \(a_0,\dots,a_k\) — его цифры.

Так как \(10\equiv1\pmod 9\), то и \(10^j\equiv1\pmod 9\) для любого целого \(j\ge0\). Следовательно, \(N\equiv a_k+a_{k-1}+\dots+a_0\pmod 9\). Это и есть признак Паскаля: число и сумма его цифр дают одинаковые остатки при делении на 9.

а) Делимость на 3. Поскольку \(9\) делится на \(3\), из признака Паскаля следует, что число и сумма его цифр дают одинаковые остатки и при делении на 3. Значит, число делится на 3 тогда и только тогда, когда на 3 делится сумма его цифр.

б) Делимость на 9. Из признака Паскаля непосредственно следует: число делится на 9 тогда и только тогда, когда на 9 делится сумма его цифр.