Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 261. Постройте график функции \(y=-4-\frac{x+2}{x^2+2x}\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) не имеет с…Фото задания

Ответ:

Область определения исходной функции: \(x\ne0\) и \(x\ne-2\).

Упростим дробь:

\[y=-4-\frac{x+2}{x(x+2)}=-4-\frac1x.\]

Поэтому график — гипербола \(y=-4-\frac1x\), но точка с абсциссой \(x=-2\) исключена. Координаты выколотой точки:

\[y=-4-\frac1{-2}=-4+\frac12=-\frac72.\]

Выколотая точка: \(\left(-2; -\frac72\right)\). Асимптоты графика: \(x=0\) и \(y=-4\).

yxx=0y=−4(−2;−7/2)0

Найдём значения \(m\), при которых прямая \(y=m\) не пересекает график:

\[m=-4-\frac1x.\]

  1. При \(m=-4\) уравнение превращается в \(0=-\frac1x\), что невозможно. Это горизонтальная асимптота.
  2. При \(m=-\frac72\):
    \[-\frac72=-4-\frac1x\quad\Rightarrow\quad x=-2.\]
    Но точка \(x=-2\) исключена из области определения, поэтому пересечения нет.

Для остальных значений \(m\) существует единственная точка пересечения, так как \(x=-\frac1{m+4}\).

Ответ: \(m=-4\) или \(m=-\frac72\).