Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
262. Могут ли графики функций y = k/x и y = ax + b пересекаться в двух точках, лежащих: а) в одной четверти; б) в первой и второй четвертях; в) в первой и третьей четвертях?
Ответ:
Краткое пояснение:
Краткое пояснение: Положение точек пересечения графиков функций \( y = \frac{k}{x} \) и \( y = ax + b \) зависит от знаков \( k \), \( a \), \( b \) и от конкретных значений этих коэффициентов.
Решение:
Рассмотрим уравнение для точек пересечения: \( ax^{2} + bx - k = 0 \).
Случай а) в одной четверти:
- Если \( k > 0 \) (гипербола в I и III четвертях) и \( a > 0 \) (наклон прямой положительный), то при соответствующем \( b \) возможно пересечение в I четверти (где \( x > 0 \) и \( y > 0 \)).
- Если \( k < 0 \) (гипербола во II и IV четвертях) и \( a > 0 \), то возможно пересечение во II четверти (где \( x < 0 \) и \( y > 0 \)).
- Если \( k < 0 \) и \( a < 0 \), возможно пересечение в IV четверти.
- Если \( k > 0 \) и \( a < 0 \), возможно пересечение в III четверти.
- Таким образом, графики могут пересекаться в одной четверти.
Случай б) в первой и второй четвертях:
- В первой четверти \( x > 0 \), во второй \( x < 0 \).
- Если \( k > 0 \) (гипербола в I и III четвертях), то пересечение в I четверти возможно. Для пересечения во II четверти, \( y = ax + b \) должен проходить через II четверть, что возможно при \( a < 0 \) и \( b > 0 \).
- Если \( k < 0 \) (гипербола во II и IV четвертях), то пересечение во II четверти возможно. Для пересечения в I четверти, \( y = ax + b \) должен проходить через I четверть, что возможно при \( a > 0 \) и \( b > 0 \).
- Таким образом, графики могут пересекаться в первой и второй четвертях.
Случай в) в первой и третьей четвертях:
- В первой четверти \( x > 0 \) и \( y > 0 \).
- В третьей четверти \( x < 0 \) и \( y < 0 \).
- Если \( k > 0 \), то ветви гиперболы находятся в I и III четвертях. Если прямая \( y = ax + b \) проходит через начало координат (\( b=0 \)) или имеет \( b > 0 \) и \( a > 0 \) или \( b < 0 \) и \( a < 0 \), то возможно пересечение в I и III четвертях.
- Например, при \( k = 1 \) и \( y = x \), мы получаем \( x = 1/x \), \( x^2 = 1 \), \( x = ± 1 \). Точки пересечения (1, 1) и (-1, -1).
- Таким образом, графики могут пересекаться в первой и третьей четвертях.
Ответ: а) в одной четверти; б) в первой и второй четвертях; в) в первой и третьей четвертях
