266. Решите уравнение: а) \((8x-1)(2x-3)-(4x-1)^2=38\); б) \(\frac{(15x-1)(1+15x)}{3}=2\frac{2}{3}\); в) \(0{,}5y^3-0{,}5y(y+1)(y-3)=7\); г) \(x^4-x^2=\frac{(1+2x^2)(2x^2-1)}{4}\).

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

\((8x-1)(2x-3)-(4x-1)^2=38\)

\(16x^2-26x+3-(16x^2-8x+1)=38\)

\(-18x+2=38\), поэтому \(-18x=36\) и \(x=-2\).

Ответ: \(x=-2\).

Преобразуем смешанное число и произведение сопряжённых выражений:

\(2\frac{2}{3}=\frac{8}{3}\), а \((15x-1)(1+15x)=(15x-1)(15x+1)=225x^2-1\).

Тогда \(\frac{225x^2-1}{3}=\frac{8}{3}\), откуда \(225x^2-1=8\), \(225x^2=9\), \(x^2=\frac{1}{25}\).

Следовательно, \(x=\pm\frac{1}{5}\).

Ответ: \(x=-\frac{1}{5}\) или \(x=\frac{1}{5}\).

Вынесем общий множитель \(0{,}5y\):

\(0{,}5y^3-0{,}5y(y+1)(y-3)=0{,}5y\bigl(y^2-(y+1)(y-3)\bigr)\).

Так как \((y+1)(y-3)=y^2-2y-3\), выражение в скобках равно \(2y+3\). Получаем \(0{,}5y(2y+3)=7\).

Умножим на 2: \(y(2y+3)=14\), то есть \(2y^2+3y-14=0\).

\(D=3^2-4\cdot2\cdot(-14)=121\), поэтому \(y=\frac{-3\pm11}{4}\).

Ответ: \(y=2\) или \(y=-\frac{7}{2}\).

Положим \(t=x^2\). Тогда уравнение принимает вид \(t^2-t=\frac{(1+2t)(2t-1)}{4}\).

Раскроем произведение: \((1+2t)(2t-1)=4t^2-1\). Следовательно, \(t^2-t=t^2-\frac{1}{4}\), откуда \(t=\frac{1}{4}\).

Значит, \(x^2=\frac{1}{4}\), поэтому \(x=\pm\frac{1}{2}\).

Ответ: \(x=-\frac{1}{2}\) или \(x=\frac{1}{2}\).