267. Сократите дробь: а) \(\frac{144a^2 - 25b^2}{25b^2 - 120ab + 144a^2}\) 6) \(\frac{x^2 - 7x + 12}{x^2 - 8x + 16}\)

Привет! Давай разберем эти дроби шаг за шагом. Ты молодец, что тренируешься!

267. Сокращение дробей

Задание а)

Сначала посмотрим на числитель: \(144a^2 - 25b^2\). Это разность квадратов, потому что \(144a^2 = (12a)^2\) и \(25b^2 = (5b)^2\). По формуле разности квадратов \(x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)\) получим:

\[ 144a^2 - 25b^2 = (12a - 5b)(12a + 5b) \]

Теперь посмотрим на знаменатель: \(25b^2 - 120ab + 144a^2\). Это квадрат разности. Заметим, что \(25b^2 = (5b)^2\) и \(144a^2 = (12a)^2\). Середина \(-120ab\) равна \(2 \times 5b \times 12a\), то есть \(2 \times (5b) \times (12a)\). Значит, по формуле \((x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\) имеем:

\[ 25b^2 - 120ab + 144a^2 = (5b - 12a)^2 = (5b - 12a)(5b - 12a) \]

Теперь подставим все обратно в дробь:

\[ \frac{(12a - 5b)(12a + 5b)}{(5b - 12a)(5b - 12a)} \]

Обрати внимание, что \(12a - 5b\) и \(5b - 12a\) — это противоположные выражения. Если \(X = 12a - 5b\), то \(5b - 12a = -X\). Поэтому мы можем записать:

\[ \frac{(12a - 5b)(12a + 5b)}{-(12a - 5b)(5b - 12a)} = \frac{(12a - 5b)(12a + 5b)}{-(12a - 5b)(- (12a - 5b))} = \frac{(12a - 5b)(12a + 5b)}{(12a - 5b)^2} \]

Сокращаем \((12a - 5b)\):

\[ \frac{12a + 5b}{12a - 5b} \]

Задание б)

Числитель: \(x^2 - 7x + 12\). Это квадратный трехчлен. Найдем его корни, решив уравнение \(x^2 - 7x + 12 = 0\). По теореме Виета (или через дискриминант) корни: \(x_1 = 3\) и \(x_2 = 4\). Значит, числитель можно разложить как \((x - 3)(x - 4)\).

Знаменатель: \(x^2 - 8x + 16\). Это тоже квадратный трехчлен. Уравнение \(x^2 - 8x + 16 = 0\) имеет один корень \(x = 4\) (или можно увидеть, что это полный квадрат \((x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16\)).

Подставляем в дробь:

\[ \frac{(x - 3)(x - 4)}{(x - 4)^2} = \frac{(x - 3)(x - 4)}{(x - 4)(x - 4)} \]

Сокращаем \((x - 4)\):

\[ \frac{x - 3}{x - 4} \]

Ответ:

а) \[ \frac{12a + 5b}{12a - 5b} \]

б) \[ \frac{x - 3}{x - 4} \]