268. Упростите выражение: а) \(\frac{3x - 9x^2}{x^2 + 9 + 6x} : \frac{9x^2 - 1}{x^2 - 9}\) 6) \(\frac{2ab - 3b - 10a + 15}{2ab - 8b} \cdot \frac{a^2 - 16}{b^2 - 25}\)

Продолжаем разбираться с математикой! Сейчас будем упрощать выражения. Держись, у тебя всё получится!

268. Упрощение выражений

Задание а)

Сначала разложим на множители каждый многочлен:

Числитель первой дроби: \(3x - 9x^2 = 3x(1 - 3x)\)

Знаменатель первой дроби: \(x^2 + 9 + 6x = x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\) (это квадрат суммы).

Числитель второй дроби: \(9x^2 - 1 = (3x)^2 - 1^2 = (3x - 1)(3x + 1)\) (разность квадратов).

Знаменатель второй дроби: \(x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3)\) (разность квадратов).

Теперь подставим разложенные многочлены в выражение. Деление на дробь — это умножение на перевёрнутую дробь:

\[ \frac{3x(1 - 3x)}{(x + 3)^2} : \frac{(3x - 1)(3x + 1)}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{3x(1 - 3x)}{(x + 3)^2} \cdot \frac{(x - 3)(x + 3)}{(3x - 1)(3x + 1)} \]

Заметим, что \(1 - 3x\) и \(3x - 1\) — противоположные выражения. \(1 - 3x = -(3x - 1)\). Подставим это:

\[ \frac{3x(-(3x - 1))}{(x + 3)^2} \cdot \frac{(x - 3)(x + 3)}{(3x - 1)(3x + 1)} = \frac{-3x(3x - 1)}{(x + 3)(x + 3)} \cdot \frac{(x - 3)(x + 3)}{(3x - 1)(3x + 1)} \]

Теперь сокращаем одинаковые множители: \(-(3x - 1)\) в числителе и \((3x - 1)\) в знаменателе (останется минус у \(3x\)), \((x + 3)\) в числителе и один \((x + 3)\) в знаменателе:

\[ \frac{-3x}{(x + 3)} \cdot \frac{(x - 3)}{(3x + 1)} \]

Перемножаем оставшиеся множители:

\[ \frac{-3x(x - 3)}{(x + 3)(3x + 1)} = \frac{-3x^2 + 9x}{3x^2 + x + 9x + 3} = \frac{-3x^2 + 9x}{3x^2 + 10x + 3} \]

Задание б)

Разложим на множители:

Числитель первой дроби: \(2ab - 3b - 10a + 15\). Сгруппируем: \(b(2a - 3) - 5(2a - 3)\) (вынесли \(-5\) из \(-10a + 15\), чтобы получить \(2a - 3\)). Теперь вынесем общий множитель \((2a - 3)\): \((2a - 3)(b - 5)\).

Знаменатель первой дроби: \(2ab - 8b = 2b(a - 4)\).

Числитель второй дроби: \(a^2 - 16 = (a - 4)(a + 4)\) (разность квадратов).

Знаменатель второй дроби: \(b^2 - 25 = (b - 5)(b + 5)\) (разность квадратов).

Подставляем в выражение:

\[ \frac{(2a - 3)(b - 5)}{2b(a - 4)} \cdot \frac{(a - 4)(a + 4)}{(b - 5)(b + 5)} \]

Сокращаем одинаковые множители: \((b - 5)\) и \((a - 4)\):

\[ \frac{(2a - 3)}{2b} \cdot \frac{(a + 4)}{(b + 5)} \]

Перемножаем оставшиеся множители:

\[ \frac{(2a - 3)(a + 4)}{2b(b + 5)} = \frac{2a^2 + 8a - 3a - 12}{2b^2 + 10b} = \frac{2a^2 + 5a - 12}{2b^2 + 10b} \]

Ответ:

а) \[ \frac{-3x^2 + 9x}{3x^2 + 10x + 3} \]

б) \[ \frac{2a^2 + 5a - 12}{2b^2 + 10b} \]