269 Докажите, что ΔABC = ΔA₁B₁C₁, если ∠A=∠A₁, ∠B=∠B₁ и BH = B₁H₁, где BH и B₁H₁ — высоты ΔABC и ΔA₁B₁C₁.

Решение:

Для доказательства равенства треугольников ΔABC и ΔA₁B₁C₁ воспользуемся признаками равенства треугольников.

• Дано:
  • \[ \angle A = \angle A_1 \]
  • \[ \angle B = \angle B_1 \]
  • \[ BH = B_1H_1 \] (где BH и B₁H₁ — высоты)
• Доказать:\[ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \]
• Доказательство:
  • 1. Так как BH и B₁H₁ — высоты, то \[ \angle BHA = \angle B_1H_1A_1 = 90^{\circ} \].
  • 2. Рассмотрим прямоугольные треугольники ΔABH и ΔA₁B₁H₁.
  • 3. У нас есть:
  • \[ \angle A = \angle A_1 \] (дано)
  • \[ \angle BHA = \angle B_1H_1A_1 = 90^{\circ} \] (по построению высот)
  • \[ BH = B_1H_1 \] (дано)
  • 4. По второму признаку равенства прямоугольных треугольников (по острому углу и прилежащему катету), \[ \triangle ABH = \triangle A_1B_1H_1 \].
  • 5. Из равенства этих треугольников следует, что \[ AB = A_1B_1 \].
  • 6. Теперь рассмотрим треугольники ΔABC и ΔA₁B₁C₁.
  • 7. У нас есть:
  • \[ \angle A = \angle A_1 \] (дано)
  • \[ AB = A_1B_1 \] (доказано выше)
  • \[ \angle B = \angle B_1 \] (дано)
  • 8. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), \[ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \].

Ответ: Треугольники равны по первому признаку равенства треугольников.