269. Приведите пример, опровергающий утверждение: а) не существует рационального числа, которое больше \(\frac{1}{8}\), но меньше \(\frac{1}{7}\); б) не существует рационального числа, которое больше \(\frac{1}{6}\), но меньше \(\frac{1}{5}\).

Чтобы опровергнуть утверждение о несуществовании числа, достаточно привести один подходящий пример.

а) Возьмём среднее арифметическое дробей:

\[x=\frac{\frac{1}{8}+\frac{1}{7}}{2}=\frac{15}{112}.\]

Проверим:

\[\frac{1}{8}=\frac{14}{112}<\frac{15}{112}<\frac{16}{112}=\frac{1}{7}.\]

Следовательно, подходит рациональное число \(\frac{15}{112}\).

б) Возьмём среднее арифметическое дробей:

\[x=\frac{\frac{1}{6}+\frac{1}{5}}{2}=\frac{11}{60}.\]

Проверим:

\[\frac{1}{6}=\frac{10}{60}<\frac{11}{60}<\frac{12}{60}=\frac{1}{5}.\]

Следовательно, подходит рациональное число \(\frac{11}{60}\).

Ответ: а) \(\frac{15}{112}\); б) \(\frac{11}{60}\).