27.03.02_31_2025 год_з)Математика ТЕСТЫ Тест № 3 "Д Вопрос 8 Пока нет ответа Балл: 1,0 Отметить вопрос Производная функции y = (2*sqrt(x^3))/3 - 2/sqrt(x) + 3 имеет вид ... Выберите один ответ: y' = (x^2+1)/(x*sqrt(x)) y' = (1-x^2)/sqrt(x) y' = (x^2+1)/sqrt(x) y' = (x^2-1)/(x*sqrt(x))

Решение:

Для нахождения производной функции \[ y = \frac{2\sqrt{x^3}}{3} - \frac{2}{\sqrt{x}} + 3 \] преобразуем ее к виду, удобному для дифференцирования:

• \[ y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{-\frac{1}{2}} + 3 \]

Теперь продифференцируем каждый член:

• Производная от \[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \] равна \[ \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1} = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x} \]
• Производная от \[ -2 x^{-\frac{1}{2}} \] равна \[ -2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) x^{-\frac{1}{2} - 1} = 1 \cdot x^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x \sqrt{x}} \]
• Производная от константы \[ 3 \] равна \[ 0 \]

Сложим полученные производные:

• \[ y' = \sqrt{x} + \frac{1}{x \sqrt{x}} \]

Приведем к общему знаменателю:

• \[ y' = \frac{\sqrt{x} \cdot x \sqrt{x}}{x \sqrt{x}} + \frac{1}{x \sqrt{x}} = \frac{x^2}{x \sqrt{x}} + \frac{1}{x \sqrt{x}} = \frac{x^2 + 1}{x \sqrt{x}} \]

Ответ: y' = \[ \frac{x^2+1}{x\sqrt{x}} \]