27 Дано: ВА ⊥ АС, ∠1 = 3/5 ∠2, АК — биссектриса ∠ВАС. Найти: ∠DAC.

Решение:

1. Так как \( ВА ⊥ АС \), то \( \angle BAC = 90^{\circ} \).
2. \( \angle BAC = \angle 1 + \angle 2 \).
3. Подставим данное условие \( \angle 1 = \frac{3}{5} \angle 2 \) в уравнение: \( 90^{\circ} = \frac{3}{5} \angle 2 + \angle 2 \).
4. Приведём к общему знаменателю: \( 90^{\circ} = \frac{3 \angle 2 + 5 \angle 2}{5} \).
5. \( 90^{\circ} = \frac{8 \angle 2}{5} \).
6. Выразим \( \angle 2 \): \( \angle 2 = \frac{90^{\circ} \cdot 5}{8} = \frac{450^{\circ}}{8} = 56.25^{\circ} \).
7. Найдём \( \angle 1 \): \( \angle 1 = \frac{3}{5} \angle 2 = \frac{3}{5} \cdot 56.25^{\circ} = 33.75^{\circ} \).
8. АК — биссектриса \( \angle BAC \), значит, она делит угол пополам: \( \angle BAK = \angle KAC = \frac{90^{\circ}}{2} = 45^{\circ} \).
9. Нам нужно найти \( \angle DAC \). Из рисунка видно, что \( \angle DAC = \angle KAC - \angle 1 \).
10. \( \angle DAC = 45^{\circ} - 33.75^{\circ} = 11.25^{\circ} \).

Ответ: \( 11.25^{\circ} \).