27. Изобразить схематически график функции и найти её область определения и множество значений; выяснить, является ли функция возрастающей (убывающей), ограниченной сверху (снизу): 1) \(y=(x-2)^6\); 2) \(y=(x+1)^6\); 3) \(y=(x+2)^{-2}\); 4) \(y=(x-1)^{-3}\).

1) \(y=(x-2)^6\). Это график \(y=x^6\), сдвинутый вправо на 2. Минимум достигается при \(x=2\): \(y=0\). Функция убывает на \((-\infty;2]\) и возрастает на \([2;+\infty)\).

Область определения: \(D=\mathbb{R}\). Множество значений: \(E=[0;+\infty)\). Функция ограничена снизу числом 0, сверху не ограничена.

2) \(y=(x+1)^6\). Это график \(y=x^6\), сдвинутый влево на 1. Минимум достигается при \(x=-1\): \(y=0\). Функция убывает на \((-\infty;-1]\) и возрастает на \([-1;+\infty)\).

Область определения: \(D=\mathbb{R}\). Множество значений: \(E=[0;+\infty)\). Функция ограничена снизу числом 0, сверху не ограничена.

3) \(y=(x+2)^{-2}=\frac{1}{(x+2)^2}\). Знаменатель не может равняться нулю, поэтому \(x\ne-2\). Значения функции всегда положительны; при удалении от вертикальной асимптоты \(x=-2\) они стремятся к нулю. Производная \(y'=-2(x+2)^{-3}\): функция возрастает на \((-\infty;-2)\) и убывает на \((-2;+\infty)\).

Область определения: \(D=\mathbb{R}\setminus\{-2\}\). Множество значений: \(E=(0;+\infty)\). Функция ограничена снизу числом 0, сверху не ограничена.

4) \(y=(x-1)^{-3}=\frac{1}{(x-1)^3}\). Знаменатель не может равняться нулю, поэтому \(x\ne1\). Производная \(y'=-3(x-1)^{-4}<0\) при всех допустимых \(x\), значит функция убывает на каждом из промежутков \((-\infty;1)\) и \((1;+\infty)\). При \(x\to1-\) функция стремится к \(-\infty\), а при \(x\to1+\) — к \(+\infty\).

Область определения: \(D=\mathbb{R}\setminus\{1\}\). Множество значений: \(E=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). Функция не ограничена ни сверху, ни снизу.