27. Любые две диагонали пятиугольника имеют общую точку. Докажите, что пятиугольник выпуклый.

Пусть вершины выпуклого пятиугольника расположены по порядку A, B, C, D, E. Если две диагонали имеют общую вершину, то у них уже есть общая точка.

Рассмотрим две диагонали без общей вершины. Они соединяют четыре различные вершины. Если перечислить эти вершины в порядке обхода пятиугольника, пары концов диагоналей чередуются: например, для диагоналей AC и BD порядок A, B, C, D даёт пары A–C и B–D.

В выпуклом многоугольнике отрезки, концы которых чередуются по границе, пересекаются внутри него. Действительно, диагональ AC разделяет остальные вершины на две стороны своей прямой; B и D лежат по разные стороны, поэтому отрезок BD пересекает AC.

Следовательно, любые две диагонали выпуклого пятиугольника имеют общую точку.