27. На рисунке четырёхугольник ABCD — параллелограмм, точка E симметрична точке A относительно точки B. Докажите, что S_{ABCD} = S_{ADE}. Доказательство: 1) ΔBEP = ΔCDP по стороне и двум прилежащим к ней углам (AB = ___ = ___, ∠1 = ___, ∠3 = ___, так как эти углы ___ при пересечении параллельных прямых ___ и ___ секущими ___ и ___), поэтому S_{BEP} = ___. 2) S_{ABCD} = S_{ABPD} + ___; S_{ADE} = S_{ABPD} + ___, поэтому S_{ABCD} = ___.

Так как точка E симметрична точке A относительно B, точка B — середина AE, поэтому AB = BE. В параллелограмме противоположные стороны равны: AB = CD. Следовательно, BE = CD.

1. Рассмотрим треугольники BEP и CDP. Имеем BE = CD. Так как AB ∥ CD, то ∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4: это накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущими ED и BC соответственно. Следовательно, треугольники BEP и CDP равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому S_BEP = S_CDP.
2. Площадь параллелограмма складывается из площадей четырёхугольника ABPD и треугольника CDP: S_ABCD = S_ABPD + S_CDP. Площадь треугольника ADE складывается из площадей четырёхугольника ABPD и треугольника BEP: S_ADE = S_ABPD + S_BEP. Поскольку S_BEP = S_CDP, получаем S_ABCD = S_ADE.