27. Найти производную функции: f(x)=4x² - 5/(6x²) + 10x^(-5)

Решение:

Для нахождения производной функции \( f(x) = 4x^2 - \frac{5}{6x^2} + 10x^{-5} \), мы применим правила дифференцирования.

1. Перепишем функцию, представив дробь и отрицательные степени: \( f(x) = 4x^2 - \frac{5}{6}x^{-2} + 10x^{-5} \).
2. Найдем производную каждого слагаемого отдельно:
• Производная от \( 4x^2 \) равна \( 4 \cdot 2x^{2-1} = 8x \).
• Производная от \( -\frac{5}{6}x^{-2} \) равна \( -\frac{5}{6} \cdot (-2)x^{-2-1} = \frac{10}{6}x^{-3} = \frac{5}{3}x^{-3} \).
• Производная от \( 10x^{-5} \) равна \( 10 \cdot (-5)x^{-5-1} = -50x^{-6} \).
3. Сложим производные всех слагаемых: \( f'(x) = 8x + \frac{5}{3}x^{-3} - 50x^{-6} \).
4. Перепишем результат, используя положительные степени: \( f'(x) = 8x + \frac{5}{3x^3} - \frac{50}{x^6} \).

Ответ: \( f'(x) = 8x + \frac{5}{3x^3} - \frac{50}{x^6} \).