27. Шайбе, находящейся на шероховатой горизонтальной плоскости, сообщают горизонтальную скорость v₀ = 3 м/с. Через какое время остановится шайба, если коэффициент трения шайбы о плоскость μ = 0,3?

Задание 27: Время остановки шайбы

Дано:

• Начальная скорость: \( v_0 = 3 \) м/с.
• Коэффициент трения: \( \mu = 0.3 \).
• Ускорение свободного падения: \( g \) (принимаем \( g \approx 9.8 \) м/с² или \( 10 \) м/с² для простоты).

Найти: время \( t \) до остановки.

Решение:

1. Силы, действующие на шайбу:
• Сила тяжести: \( F_{т} = mg \), направлена вниз.
• Сила нормальной реакции опоры: \( N \), направлена вверх.
• Сила трения скольжения: \( F_{тр} \), направлена против движения.
2. Второй закон Ньютона в проекции на горизонтальную ось (ось X, направленную в сторону начальной скорости):
• Шайба движется по инерции, пока действует сила трения. Ускорение будет отрицательным, так как направлено против скорости.
• Сила трения скольжения вычисляется по формуле: \[ F_{тр} = \mu N \]
• Так как шайба находится на горизонтальной поверхности, сила нормальной реакции опоры равна силе тяжести: \( N = mg \).
• Следовательно, сила трения: \[ F_{тр} = \mu mg \]
• Применяем второй закон Ньютона: \( -F_{тр} = ma \) (где \( a \) — ускорение шайбы).
• Подставляем значение \( F_{тр} \): \[ -\mu mg = ma \]
• Сокращаем массу \( m \): \[ a = -\mu g \]
3. Найдем время остановки, используя формулу для скорости при равноускоренном движении:
• \( v = v_0 + at \)
• В момент остановки \( v = 0 \).
• \( 0 = v_0 + at \)
• \( -v_0 = at \)
• \[ t = \frac{-v_0}{a} \]
• Подставляем значение ускорения \( a = -\mu g \):
• \[ t = \frac{-v_0}{-\mu g} = \frac{v_0}{\mu g} \]
4. Подставим числовые значения (примем \( g = 10 \) м/с²):
• \( t = \frac{3 \text{ м/с}}{0.3 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{3}{3} \) с = \( 1 \) с.

Ответ: шайба остановится через 1 секунду.