27. Упростите выражение: 1) $\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}-\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b-a}$; 2) $\frac{x+7}{3x+12}-\frac{2}{x}+\frac{7x+40}{3x^2+12x}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 27. Упростите выражение: 1) $\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}-\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b-a}$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим знаменатель первой дроби: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. Приведём дроби к общему знаменателю:
\[\frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)}-\frac{b(a-b)}{(a-b)(a+b)}-\frac{b(a+b)}{(a-b)(a+b)}\]
В последнем слагаемом использовали $b-a=-(a-b)$. Тогда
\[\frac{a^2+b^2-b(a-b)-b(a+b)}{(a-b)(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{(a-b)(a+b)}=\frac{a-b}{a+b}.\]
Ограничения исходного выражения: $a\ne b$ и $a\ne-b$.
Разложим знаменатели на множители: $3x+12=3(x+4)$, $3x^2+12x=3x(x+4)$. Общий знаменатель — $3x(x+4)$:
\[\frac{x(x+7)-6(x+4)+(7x+40)}{3x(x+4)}=\frac{x^2+8x+16}{3x(x+4)}=\frac{(x+4)^2}{3x(x+4)}=\frac{x+4}{3x}.\]
Ограничения исходного выражения: $x\ne0$ и $x\ne-4$.

27. Упростите выражение: 1) \(\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}-\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b-a}\); 2) \(\frac{x+7}{3x+12}-\frac{2}{x}+\frac{7x+40}{3x^2+12x}\).