27) В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 6 и 8 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 300. Найдите высоту параллелепипеда.

Решение:

Дан прямоугольный параллелепипед. Известны стороны основания \(a = 6 \text{ см}\) и \(b = 8 \text{ см}\). Диагональ параллелепипеда \(d\) образует с плоскостью основания угол \(\alpha = 30^\circ\). Необходимо найти высоту \(h\) параллелепипеда.

1. Найдем диагональ основания \(d_{осн}\) по теореме Пифагора:
   \( d_{осн} = \sqrt{a^2 + b^2} \)
   \( d_{осн} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см} \)
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю параллелепипеда, диагональю основания и высотой. Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания равен \(\alpha = 30^\circ\). В этом треугольнике высота \(h\) является противолежащим катетом к углу \(\alpha\), а диагональ основания \(d_{осн}\) — прилежащим катетом.
3. Используем тангенс угла:
   \( \tan(\alpha) = \frac{h}{d_{осн}} \)
   \( h = d_{осн} \cdot \tan(\alpha) \)
   \( h = 10 \cdot \tan(30^\circ) \)
4. Значение \( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \).
5. Подставим значение:
   \( h = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \text{ см} \)

Ответ: \(\frac{10\sqrt{3}}{3}\) см.