27. В треугольнике ABC угол C равен 90°, высота СН равна 7, ВН = 24. Найдите cosA.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC (\( \angle C = 90^{\circ} \)) высота CH делит гипотенузу AB на отрезки AH и BH. По условию задачи, \( CH = 7 \) и \( BH = 24 \).

Используем свойство высоты прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе:

\( CH^2 = AH \cdot BH \)

Подставим известные значения:

\( 7^2 = AH \cdot 24 \)

\( 49 = AH \cdot 24 \)

\( AH = \frac{49}{24} \)

Теперь найдём длину гипотенузы AB:

\( AB = AH + BH = \frac{49}{24} + 24 = \frac{49 + 24 \cdot 24}{24} = \frac{49 + 576}{24} = \frac{625}{24} \)

Чтобы найти \( \cos A \), воспользуемся определением косинуса в прямоугольном треугольнике ABC:

\( \cos A = \frac{AC}{AB} \)

Сначала найдём длину катета AC. В прямоугольном треугольнике ACH:

\( AC^2 = CH^2 + AH^2 \)

\( AC^2 = 7^2 + \left(\frac{49}{24}\right)^2 = 49 + \frac{2401}{576} = \frac{49 \cdot 576 + 2401}{576} = \frac{28224 + 2401}{576} = \frac{30625}{576} \)

\( AC = \sqrt{\frac{30625}{576}} = \frac{175}{24} \)

Теперь мы можем найти \( \cos A \):

\( \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{\frac{175}{24}}{\frac{625}{24}} = \frac{175}{24} \cdot \frac{24}{625} = \frac{175}{625} \)

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 25:

\( \frac{175 \div 25}{625 \div 25} = \frac{7}{25} \)

Ответ: \( \cos A = \frac{7}{25} \).