27^x - 9^{x+1} + 3^{x+3} - 27 / 50x^2 - 110x + 60,5 >= 0.

Решение:

Данное неравенство содержит экспоненциальные выражения и квадратный трёхчлен в знаменателе. Для начала, преобразуем экспоненциальные выражения, приведя их к основанию 3:

\( 27^x = (3^3)^x = 3^{3x} \)

\( 9^{x+1} = (3^2)^{x+1} = 3^{2(x+1)} = 3^{2x+2} \)

\( 3^{x+3} = 3^x \cdot 3^3 = 27 · 3^x \)

Теперь подставим эти выражения обратно в числитель:

\( 3^{3x} - 3^{2x+2} + 27 · 3^x - 27 \)

Сделаем замену переменной: пусть \( y = 3^x \). Тогда неравенство примет вид:

\( y^3 - 9y^2 + 27y - 27 \)

Это формула куба разности: \( (y - 3)^3 \).

Таким образом, числитель равен \( (3^x - 3)^3 \).

Теперь рассмотрим знаменатель: \( 50x^2 - 110x + 60.5 \). Найдем корни этого квадратного трёхчлена, приравняв его к нулю:

\( 50x^2 - 110x + 60.5 = 0 \)

Умножим на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

\( 100x^2 - 220x + 121 = 0 \)

Это полный квадрат: \( (10x - 11)^2 = 0 \).

Отсюда \( 10x - 11 = 0 \), что даёт \( x = \frac{11}{10} = 1.1 \).

Теперь запишем исходное неравенство с преобразованными выражениями:

\[ \frac{(3^x - 3)^3}{(10x - 11)^2} ≥ 0 \]

Знаменатель \( (10x - 11)^2 \) всегда больше или равен нуля. Он равен нулю при \( x = 1.1 \), поэтому \( x = 1.1 \) не входит в область допустимых значений (ОДЗ).

Следовательно, \( (10x - 11)^2 > 0 \) при \( x ≠ 1.1 \).

Для выполнения неравенства необходимо, чтобы числитель был больше или равен нуля:

\[ (3^x - 3)^3 ≥ 0 \]

Это эквивалентно:

\[ 3^x - 3 ≥ 0 \]

\[ 3^x ≥ 3 \]

Так как функция \( f(x) = 3^x \) возрастающая, то:

\[ x ≥ 1 \]

Учитывая ОДЗ \( x ≠ 1.1 \), получаем:

\[ x ≥ 1 ≠ 1.1 \]

В виде интервала это записывается как \( [1, 1.1) ∪ (1.1, +∞) \).

Ответ: \( [1, 1.1) ∪ (1.1, +∞) \).