270. Среди чисел \(\frac{1}{7}\); 0; 0,25; \(-2,(3)\); 0,818118111... (число единиц, разделяющих восьмёрки, каждый раз увеличивается на одну); 4,2(51); 21π; π укажите рациональные и иррациональные.

Рациональными являются числа, которые можно представить в виде дроби \(\frac{m}{n}\), где \(m,n\) — целые числа и \(n\ne0\). Конечные и периодические десятичные дроби рациональны.

1. \(\frac{1}{7}\) — рациональное число.
2. \(0\) — рациональное число.
3. \(0,25=\frac{1}{4}\) — рациональное число.
4. \(-2,(3)=-2,333\ldots\) — периодическая дробь, поэтому рациональное число.
5. \(0,818118111\ldots\) — иррациональное число: десятичная запись бесконечная и непериодическая.
6. \(4,2(51)=4,2515151\ldots\) — периодическая дробь, поэтому рациональное число.
7. \(21\pi\) — иррациональное число, поскольку \(21\ne0\), а произведение ненулевого рационального числа на \(\pi\) иррационально.
8. \(\pi\) — иррациональное число.

Ответ: рациональные — \(\frac{1}{7}\), 0, 0,25, \(-2,(3)\), 4,2(51); иррациональные — 0,818118111..., \(21\pi\), \(\pi\).