271. Первое число на 5 больше второго, а его куб на 3185 больше куба второго. Найдите эти числа.

Пусть второе число равно \(x\). Тогда первое число равно \(x+5\).

По условию разность их кубов равна 3185:

\((x+5)^3-x^3=3185\).

Раскроем скобки и упростим:

\(x^3+15x^2+75x+125-x^3=3185\),

\(15x^2+75x-3060=0\),

\(x^2+5x-204=0\).

Найдём корни: \(D=5^2-4\cdot1\cdot(-204)=841=29^2\).

\(x=\frac{-5\pm29}{2}\), поэтому \(x=12\) или \(x=-17\).

Если второе число равно 12, первое равно 17. Если второе число равно −17, первое равно −12. В обоих случаях первое на 5 больше второго, а разность кубов равна 3185.

Ответ: 17 и 12; также подходят −12 и −17.