272. Упростите выражение: \( \frac{a-1}{3-3a} + \frac{5a^3-1}{3a^2-3} \)

Решение:

Приведём дроби к общему знаменателю.

Знаменатель первой дроби: \( 3 - 3a = 3(1-a) \)

Знаменатель второй дроби: \( 3a^2 - 3 = 3(a^2 - 1) = 3(a-1)(a+1) \)

Общий знаменатель: \( 3(a-1)(a+1) \)

Преобразуем первую дробь:

\( \frac{a-1}{3-3a} = \frac{a-1}{3(1-a)} = \frac{-(1-a)}{3(1-a)} = -\frac{1}{3} \)

Преобразуем вторую дробь:

\( \frac{5a^3-1}{3a^2-3} = \frac{5a^3-1}{3(a^2-1)} \)

Теперь сложим дроби:

\( -\frac{1}{3} + \frac{5a^3-1}{3(a^2-1)} = -\frac{1(a^2-1)}{3(a^2-1)} + \frac{5a^3-1}{3(a^2-1)} = \frac{-(a^2-1) + (5a^3-1)}{3(a^2-1)} = \frac{-a^2+1 + 5a^3-1}{3(a^2-1)} = \frac{5a^3-a^2}{3(a^2-1)} = \frac{a^2(5a-1)}{3(a-1)(a+1)} \)

Ответ: \( \frac{a^2(5a-1)}{3(a-1)(a+1)} \).