273. Докажите, что: а) квадрат чётного числа есть число чётное; б) квадрат нечётного числа есть число нечётное.

а) Пусть \(n\) — чётное число. Тогда \(n=2k\), где \(k\) — целое число.

Возведём равенство в квадрат:

\[n^2=(2k)^2=4k^2=2(2k^2).\]

Число \(n^2\) представлено в виде произведения 2 на целое число, значит, оно чётное.

б) Пусть \(n\) — нечётное число. Тогда \(n=2k+1\), где \(k\) — целое число.

Возведём выражение в квадрат:

\[n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1.\]

Число \(n^2\) представлено в виде \(2m+1\), значит, оно нечётное.

Ответ: квадрат чётного числа чётен, а квадрат нечётного числа нечётен.