273 Сумма гипотенузы СЕ и катета CD прямоугольного треугольника CDE равна 31 см, а их разность равна 3 см. Найдите расстояние от вершины С до прямой DE.

Краткая запись:

• Прямоугольный треугольник CDE
• CE (гипотенуза) + CD (катет) = 31 см
• CE - CD = 3 см
• Найти: Расстояние от C до DE (высота h) — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Решаем систему уравнений для нахождения длин CE и CD.
• Пусть CE = x, CD = y.
• x + y = 31
• x - y = 3
• Складываем уравнения: (x + y) + (x - y) = 31 + 3 => 2x = 34 => x = 17 см (CE).
• Подставляем x в первое уравнение: 17 + y = 31 => y = 31 - 17 = 14 см (CD).
2. Шаг 2: Находим длину катета DE по теореме Пифагора.
• В прямоугольном треугольнике CDE: $$CE^2 = CD^2 + DE^2$$
• $$17^2 = 14^2 + DE^2$$
• $$289 = 196 + DE^2$$
• $$DE^2 = 289 - 196 = 93$$
• $$DE = \sqrt{93}$$ см.
3. Шаг 3: Находим расстояние от вершины C до прямой DE. Это высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу. Обозначим ее как h.
• Площадь треугольника S можно вычислить двумя способами:
• 1) $$S = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot DE = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot \sqrt{93} = 7\sqrt{93}$$ см².
• 2) $$S = \frac{1}{2} \cdot CE \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot h$$.
• Приравниваем площади: $$\frac{1}{2} \cdot 17 \cdot h = 7\sqrt{93}$$
• $$17h = 14\sqrt{93}$$
• $$h = \frac{14\sqrt{93}}{17}$$ см.

Ответ: $$\frac{14\sqrt{93}}{17}$$ см