Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
274 Докажите, что ∆ABC = ∆A₁B₁C₁, если ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁ и BH = B₁H₁, где BH и B₁H₁ — высоты ∆ABC и ∆A₁B₁C₁ соответственно.
Ответ:
Доказательство равенства треугольников
Условие: Даны два треугольника \( riangle ABC \) и \( riangle A_1B_1C_1 \). Известно, что \( oldsymbol{oldsymbol{oldsymbol{ ext{∠A}}}} = oldsymbol{oldsymbol{oldsymbol{ ext{∠A₁}}}}} \), \( oldsymbol{oldsymbol{oldsymbol{ ext{∠B}}}} = oldsymbol{oldsymbol{oldsymbol{ ext{∠B₁}}}}} \) и \( oldsymbol{BH} = oldsymbol{B_1H_1} \), где \( BH \) и \( B_1H_1 \) — высоты соответствующих треугольников.
Логика решения: Мы будем использовать признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам (УСУ). Для этого нам нужно показать, что соответственные стороны и углы этих треугольников равны.
Пошаговое решение:
- Шаг 1: Рассмотрение треугольников, образованных высотами.
Высоты \( BH \) и \( B_1H_1 \) перпендикулярны сторонам \( AC \) и \( A_1C_1 \) соответственно. Это значит, что \( oldsymbol{oldsymbol{oldsymbol{ ext{∠BHA}}}}} = oldsymbol{oldsymbol{oldsymbol{ ext{∠BHС}}}}} = oldsymbol{oldsymbol{oldsymbol{ ext{90°}}}}} \) и \( oldsymbol{oldsymbol{oldsymbol{ ext{∠B₁H₁A₁}}}}} = oldsymbol{oldsymbol{oldsymbol{ ext{∠B₁H₁C₁}}}}} = oldsymbol{oldsymbol{oldsymbol{ ext{90°}}}}} \). - Шаг 2: Применение признака равенства прямоугольных треугольников.
Рассмотрим прямоугольные треугольники \( riangle ABH \) и \( riangle A_1B_1H_1 \). У нас есть:- \( oldsymbol{oldsymbol{oldsymbol{ ext{∠A}}}} = oldsymbol{oldsymbol{oldsymbol{ ext{∠A₁}}}}} \) (по условию).
- \( oldsymbol{BH} = oldsymbol{B_1H_1} \) (по условию).
- \( oldsymbol{oldsymbol{oldsymbol{ ext{∠BHA}}}}} = oldsymbol{oldsymbol{oldsymbol{ ext{∠B₁H₁A₁}}}}} = oldsymbol{oldsymbol{oldsymbol{ ext{90°}}}}} \).
- Шаг 3: Вывод о равенстве сторон.
Из равенства \( riangle ABH \) и \( riangle A_1B_1H_1 \) следует, что \( oldsymbol{AB} = oldsymbol{A_1B_1} \) (соответственные стороны равны). - Шаг 4: Применение признака равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (СУС).
Теперь рассмотрим треугольники \( riangle ABC \) и \( riangle A_1B_1C_1 \). У нас есть:- \( oldsymbol{AB} = oldsymbol{A_1B_1} \) (доказано в Шаге 3).
- \( oldsymbol{oldsymbol{oldsymbol{ ext{∠A}}}} = oldsymbol{oldsymbol{oldsymbol{ ext{∠A₁}}}}} \) (по условию).
- \( oldsymbol{oldsymbol{oldsymbol{ ext{∠B}}}} = oldsymbol{oldsymbol{oldsymbol{ ext{∠B₁}}}}} \) (по условию).
- Шаг 5: Применение признака равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам (УСУ).
Мы уже показали, что \( oldsymbol{AB} = oldsymbol{A_1B_1} \) и \( oldsymbol{oldsymbol{oldsymbol{ ext{∠A}}}} = oldsymbol{oldsymbol{oldsymbol{ ext{∠A₁}}}}} \). Поскольку \( oldsymbol{oldsymbol{oldsymbol{ ext{∠B}}}} = oldsymbol{oldsymbol{oldsymbol{ ext{∠B₁}}}}} \), то, учитывая, что сумма углов в треугольнике равна \( oldsymbol{180^oldsymbol{o}} \), мы можем найти третий угол:
\( oldsymbol{oldsymbol{oldsymbol{ ext{∠C}}}}} = oldsymbol{180^oldsymbol{o}} - oldsymbol{oldsymbol{oldsymbol{ ext{∠A}}}}} - oldsymbol{oldsymbol{oldsymbol{ ext{∠B}}}}} \)
\( oldsymbol{oldsymbol{oldsymbol{ ext{∠C₁}}}}} = oldsymbol{180^oldsymbol{o}} - oldsymbol{oldsymbol{oldsymbol{ ext{∠A₁}}}}} - oldsymbol{oldsymbol{oldsymbol{ ext{∠B₁}}}}} \)
Так как \( oldsymbol{oldsymbol{oldsymbol{ ext{∠A}}}} = oldsymbol{oldsymbol{oldsymbol{ ext{∠A₁}}}}} \) и \( oldsymbol{oldsymbol{oldsymbol{ ext{∠B}}}} = oldsymbol{oldsymbol{oldsymbol{ ext{∠B₁}}}}} \), то \( oldsymbol{oldsymbol{oldsymbol{ ext{∠C}}}}} = oldsymbol{oldsymbol{oldsymbol{ ext{∠C₁}}}}} \). - Шаг 6: Финальное заключение.
Теперь мы имеем: сторона \( oldsymbol{AB} \) равна стороне \( oldsymbol{A_1B_1} \), угол \( oldsymbol{oldsymbol{oldsymbol{ ext{∠A}}}}} \) равен углу \( oldsymbol{oldsymbol{oldsymbol{ ext{∠A₁}}}}} \), и угол \( oldsymbol{oldsymbol{oldsymbol{ ext{∠B}}}}} \) равен углу \( oldsymbol{oldsymbol{oldsymbol{ ext{∠B₁}}}}} \). Таким образом, по признаку равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам (УСУ), \( oldsymbol{oldsymbol{ riangle ABC}} = oldsymbol{oldsymbol{ riangle A_1B_1C_1}} \).
Вывод: Утверждение доказано.
