278. Решите биквадратное уравнение: а) $x^4-5x^2-36=0$; б) $y^4-6y^2+8=0$; в) $t^4+10t^2+25=0$; г) $4x^4-5x^2+1=0$; д) $9x^4-9x^2+2=0$; е) $16y^4-8y^2+1=0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 278. Решите биквадратное уравнение: а) $x^4-5x^2-36=0$; б) $y^4-6y^2+8=0$; в) $t^4+10t^2+25=0$; г) $4x^4-5x^2+1=0$;…$ Фото задания

278. Решите биквадратное уравнение: а) $x^4-5x^2-36=0$; б) $y^4-6y^2+8=0$; в) $t^4+10t^2+25=0$; г) $4x^4-5x^2+1=0$; д) $9x^4-9x^2+2=0$; е) $16y^4-8y^2+1=0$.

Accepted Answer

Используем замену: для уравнений с переменной в четвёртой и второй степенях полагаем, например, $u=x^2$, причём $u\ge 0$.

а) Пусть $u=x^2$. Тогда $u^2-5u-36=0$, то есть $(u-9)(u+4)=0$. Получаем $u=9$ или $u=-4$. Условию $u\ge0$ соответствует только $u=9$, поэтому $x=\pm3$.
б) Пусть $u=y^2$. Тогда $u^2-6u+8=0$, то есть $(u-2)(u-4)=0$. Значит, $y^2=2$ или $y^2=4$, откуда $y=\pm\sqrt2$ или $y=\pm2$.
в) $t^4+10t^2+25=(t^2+5)^2$. Для действительных $t$ выражение $t^2+5$ положительно, поэтому уравнение действительных корней не имеет.
г) Пусть $u=x^2$. Тогда $4u^2-5u+1=0$, то есть $(4u-1)(u-1)=0$. Следовательно, $x^2=\frac14$ или $x^2=1$, откуда $x=\pm\frac12$ или $x=\pm1$.
д) Пусть $u=x^2$. Тогда $9u^2-9u+2=0$. Разложим на множители: $(3u-1)(3u-2)=0$. Получаем $x^2=\frac13$ или $x^2=\frac23$, откуда $x=\pm\frac{1}{\sqrt3}$ или $x=\pm\sqrt{\frac23}$.
е) Пусть $u=y^2$. Тогда $16u^2-8u+1=(4u-1)^2=0$. Значит, $y^2=\frac14$, поэтому $y=\pm\frac12$.

Ответ: а) $x=\pm3$; б) $y=\pm\sqrt2,\ \pm2$; в) действительных корней нет; г) $x=\pm1,\ \pm\frac12$; д) $x=\pm\frac{1}{\sqrt3},\ \pm\sqrt{\frac23}$; е) $y=\pm\frac12$.

278. Решите биквадратное уравнение: а) \(x^4-5x^2-36=0\); б) \(y^4-6y^2+8=0\); в) \(t^4+10t^2+25=0\); г) \(4x^4-5x^2+1=0\); д) \(9x^4-9x^2+2=0\); е) \(16y^4-8y^2+1=0\).

Ответ: