278. Решите биквадратное уравнение: а) x⁴ − 5x² − 36 = 0; б) y⁴ − 6y² + 8 = 0; в) t⁴ + 10t² + 25 = 0; г) 4x⁴ − 5x² + 1 = 0; д) 9x⁴ − 9x² + 2 = 0; е) 16y⁴ − 8y² + 1 = 0.

Используем замену: \(z=x^2\), \(z=y^2\) или \(z=t^2\). Так как квадрат переменной неотрицателен, учитываем только значения \(z\ge 0\).

1. \(x^4-5x^2-36=0\).

   Пусть \(z=x^2\). Тогда \(z^2-5z-36=0\), откуда \((z-9)(z+4)=0\).

   \(z=9\) или \(z=-4\). Значение \(z=-4\) не подходит.

   \(x^2=9\), поэтому \(x=\pm3\).

2. \(y^4-6y^2+8=0\).

   Пусть \(z=y^2\). Тогда \(z^2-6z+8=0\), откуда \((z-2)(z-4)=0\).

   \(y^2=2\) или \(y^2=4\).

   \(y=\pm\sqrt2\) или \(y=\pm2\).

3. \(t^4+10t^2+25=0\).

   Пусть \(z=t^2\). Тогда \(z^2+10z+25=0\), то есть \((z+5)^2=0\).

   Получаем \(z=-5\), но \(t^2\ge0\). Действительных корней нет.

4. \(4x^4-5x^2+1=0\).

   Пусть \(z=x^2\). Тогда \(4z^2-5z+1=0\), откуда \((4z-1)(z-1)=0\).

   \(z=\frac14\) или \(z=1\).

   Следовательно, \(x=\pm\frac12\) или \(x=\pm1\).

5. \(9x^4-9x^2+2=0\).

   Пусть \(z=x^2\). Тогда \(9z^2-9z+2=0\).

   \(z=\frac{9\pm\sqrt9}{18}=\frac{9\pm3}{18}\), поэтому \(z=\frac23\) или \(z=\frac13\).

   Следовательно, \(x=\pm\sqrt{\frac23}\) или \(x=\pm\sqrt{\frac13}=\pm\frac{\sqrt3}{3}\).

6. \(16y^4-8y^2+1=0\).

   Пусть \(z=y^2\). Тогда \(16z^2-8z+1=0\), то есть \((4z-1)^2=0\).

   \(z=\frac14\), поэтому \(y=\pm\frac12\).

Ответ: а) \(x=\pm3\); б) \(y=\pm\sqrt2,\ \pm2\); в) действительных корней нет; г) \(x=\pm\frac12,\ \pm1\); д) \(x=\pm\sqrt{\frac23},\ \pm\frac{\sqrt3}{3}\); е) \(y=\pm\frac12\).