278. Упростите выражение: 1) \(3a^5\cdot4a^{-4}\); 2) \(\frac{10b^{-4}}{15b^{-5}}\); 3) \((2c^{-6})^4\); 4) \(m^{-2}n\cdot mn^{-2}\); 5) \(abc^{-1}\cdot ab^{-1}c\); 6) \(\frac{kp^{-6}}{k^4p^4}\); 7) \((c^{-6}d)^{-7}\); 8) \(\frac13a^{-3}b^{-6}\cdot\frac67a^{[показатель обрезан]}b^4\); 9) \(0{,}2c^{[показатель неразборчив]}d^5\cdot1{,}5c^{-2}d^{[показатель неразборчив]}\); 10) \(4x^8\cdot(-3x^{-4})^2\); 11) \(\frac{13m^{-10}}{12n^{-8}}\cdot\frac{27n}{26m^2}\); 12) \(\frac{18p^{-6}k^2}{7}:\frac{15k^{-2}}{p^6}\).

При умножении степеней с одинаковыми основаниями складываем показатели; при делении — вычитаем; при возведении степени в степень показатели перемножаем. Используем также правило \(a^{-n}=\frac1{a^n}\).

1. \(3a^5\cdot4a^{-4}=12a^{5-4}=12a\).
2. \(\frac{10b^{-4}}{15b^{-5}}=\frac23b^{-4-(-5)}=\frac23b\).
3. \((2c^{-6})^4=2^4c^{-24}=\frac{16}{c^{24}}\).
4. \(m^{-2}n\cdot mn^{-2}=m^{-1}n^{-1}=\frac1{mn}\).
5. \(abc^{-1}\cdot ab^{-1}c=a^2b^{1-1}c^{-1+1}=a^2\).
6. \(\frac{kp^{-6}}{k^4p^4}=k^{-3}p^{-10}=\frac1{k^3p^{10}}\).
7. \((c^{-6}d)^{-7}=c^{42}d^{-7}=\frac{c^{42}}{d^7}\).
8. Не удаётся определить показатель степени у \(a\) во втором множителе. Если он равен \(r\), то выражение упрощается так: \(\frac13a^{-3}b^{-6}\cdot\frac67a^rb^4=\frac27a^{r-3}b^{-2}=\frac{2a^{r-3}}{7b^2}\). Для окончательного ответа нужен чёткий фрагмент с показателем.
9. В показателях степеней при \(c\) и во втором множителе при \(d\) цифры неразборчивы. Если эти показатели равны соответственно \(u\) и \(v\), результат: \(0.2\cdot1.5\,c^{u-2}d^{5+v}=0.3c^{u-2}d^{5+v}\). Пришлите чёткий фрагмент с показателями.
10. \(4x^8\cdot(-3x^{-4})^2=4x^8\cdot9x^{-8}=36\).
11. \(\frac{13m^{-10}}{12n^{-8}}\cdot\frac{27n}{26m^2}=\frac{13\cdot27}{12\cdot26}m^{-12}n^9=\frac{9n^9}{8m^{12}}\).
12. \(\frac{18p^{-6}k^2}{7}:\frac{15k^{-2}}{p^6}=\frac{18}{7}p^{-6}k^2\cdot\frac{p^6}{15k^{-2}}=\frac{18}{105}k^4=\frac{6k^4}{35}\).