2795. В треугольнике ABC AC = BC, угол C равен 120°, AB = 2√3. Найдите AC.

Решение:

В треугольнике ABC AC = BC, значит, он равнобедренный. Угол при вершине C равен 120°.

Углы при основании A и B равны:

\( \angle A = \angle B = \frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \)

Теперь применим теорему косинусов к треугольнику ABC:

\( AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 · AC · BC · \cos C \)

Так как AC = BC, обозначим эту длину как \( x \):

\( (2\sqrt{3})^2 = x^2 + x^2 - 2 · x · x · \cos 120^{\circ} \)

\( 12 = 2x^2 - 2x^2 · (-\frac{1}{2}) \)

\( 12 = 2x^2 + x^2 \)

\( 12 = 3x^2 \)

\( x^2 = 4 \)

\( x = 2 \)

Значит, AC = 2.

Ответ: 2