№ 28. 2) Вычислите интегралы: а) $\int x\,dx$; б) $\int_0^{\pi}\left(\cos 3x-\sin\frac{x}{2}\right)dx$; в) $\int_{-1}^{1}\left(3x^2-\frac{1}{2}x+5\right)dx$.

Question

Вопрос: $Фото задания: № 28. 2) Вычислите интегралы: а) $\int x\,dx$; б) $\int_0^{\pi}\left(\cos 3x-\sin\frac{x}{2}\right)dx$; в)…$ Фото задания

Accepted Answer

Находим первообразную степенной функции:
\[\int x\,dx=\frac{x^2}{2}+C.\]
Первообразная подынтегральной функции:
\[\int\left(\cos 3x-\sin\frac{x}{2}\right)dx=\frac{\sin 3x}{3}+2\cos\frac{x}{2}.\]
Подставляем пределы:
\[\left(\frac{\sin 3x}{3}+2\cos\frac{x}{2}\right)\Bigg|_0^{\pi}=0-2=-2.\]
Интегрируем каждый член:
\[\int\left(3x^2-\frac{1}{2}x+5\right)dx=x^3-\frac{x^2}{4}+5x.\]
Подставляем пределы:
\[\left(x^3-\frac{x^2}{4}+5x\right)\Bigg|_{-1}^{1}=\frac{23}{4}-\left(-\frac{25}{4}\right)=12.\]

Ответ: а) $\frac{x^2}{2}+C$; б) $-2$; в) $12$.

№ 28. 2) Вычислите интегралы: а) \(\int x\,dx\); б) \(\int_0^{\pi}\left(\cos 3x-\sin\frac{x}{2}\right)dx\); в) \(\int_{-1}^{1}\left(3x^2-\frac{1}{2}x+5\right)dx\).