28.28. Найдите производную функции: a) y = (4x − 9)⁷; б) y = (x/3 + 2)¹²; в) y = (5x + 1)⁹; г) y = (x/4 − 3)¹⁴. 85

Задание 28.28

Найдем производные функций, используя правило дифференцирования сложной функции \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \).

а) \( y = (4x - 9)^7 \)

Здесь \( f(u) = u^7 \) и \( g(x) = 4x - 9 \). Тогда \( f'(u) = 7u^6 \) и \( g'(x) = 4 \).

Производная равна:

\[ y' = 7(4x - 9)^6 \cdot 4 = 28(4x - 9)^6 \]

б) \( y = \left(\frac{x}{3} + 2\right)^{12} \)

Здесь \( f(u) = u^{12} \) и \( g(x) = \frac{x}{3} + 2 \). Тогда \( f'(u) = 12u^{11} \) и \( g'(x) = \frac{1}{3} \).

Производная равна:

\[ y' = 12\left(\frac{x}{3} + 2\right)^{11} \cdot \frac{1}{3} = 4\left(\frac{x}{3} + 2\right)^{11} \]

в) \( y = (5x + 1)^9 \)

Здесь \( f(u) = u^9 \) и \( g(x) = 5x + 1 \). Тогда \( f'(u) = 9u^8 \) и \( g'(x) = 5 \).

Производная равна:

\[ y' = 9(5x + 1)^8 \cdot 5 = 45(5x + 1)^8 \]

г) \( y = \left(\frac{x}{4} - 3\right)^{14} \)

Здесь \( f(u) = u^{14} \) и \( g(x) = \frac{x}{4} - 3 \). Тогда \( f'(u) = 14u^{13} \) и \( g'(x) = \frac{1}{4} \).

Производная равна:

\[ y' = 14\left(\frac{x}{4} - 3\right)^{13} \cdot \frac{1}{4} = \frac{7}{2}\left(\frac{x}{4} - 3\right)^{13} \]

Ответ: а) \( 28(4x - 9)^6 \); б) \( 4\left(\frac{x}{3} + 2\right)^{11} \); в) \( 45(5x + 1)^8 \); г) \( \frac{7}{2}\left(\frac{x}{4} - 3\right)^{13} \).