28.4. Докажите равенство прямоугольных треугольников, изображенных на рисунке. Указание: Докажите равенство углов А и D, затем примените признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему к нему острому углу.

Решение:

Нам даны два прямоугольных треугольника, пересекающихся в точке O. Обозначим треугольники как $$\triangle ABO$$ и $$\triangle DCO$$. В условии задачи нам дано, что $$AB = DC$$ и $$AC \perp AB$$, $$BD \perp DC$$. Также, из рисунка видно, что $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются в точке $$O$$.

• Шаг 1: Доказываем равенство углов A и D.
• Углы $$\angle OAB$$ и $$\angle ODC$$ являются накрест лежащими углами при параллельных прямых $$AC$$ и $$BD$$ и секущей $$AD$$. Однако, из рисунка не следует, что $$AC \parallel BD$$.
• Рассмотрим углы $$\angle BAC$$ и $$\angle BDC$$. Так как $$AC \perp AB$$, то $$\angle BAC = 90^{\circ}$$. Так как $$BD \perp DC$$, то $$\angle BDC = 90^{\circ}$$.
• В условии задачи указано, что нужно доказать равенство углов A и D, подразумевая углы $$\angle BAC$$ и $$\angle BDC$$. Из рисунка видно, что $$\angle BAC = 90^{\circ}$$ и $$\angle BDC = 90^{\circ}$$. Таким образом, углы A и D равны.\\
• Шаг 2: Применяем признак равенства прямоугольных треугольников.
• Рассмотрим $$\triangle ABO$$ и $$\triangle DCO$$.
• Нам известно, что $$\angle BAC = 90^{\circ}$$ и $$\angle BDC = 90^{\circ}$$.
• Также, из рисунка видно, что $$AB = DC$$ (отмечено одинаковыми штрихами).
• Углы $$\angle AOB$$ и $$\angle DOC$$ являются вертикальными, следовательно, они равны: $$\angle AOB = \angle DOC$$.
• Таким образом, у нас есть два угла и одна сторона, прилежащая к одному из углов, равные в двух треугольниках ($$\angle BAC = \angle BDC = 90^{\circ}$$, $$AB = DC$$, $$\angle AOB = \angle DOC$$).
• Однако, это не соответствует ни одному из признаков равенства треугольников (например, по двум сторонам и углу между ними, или по стороне и двум прилежащим углам).
• Перечитаем условие и указание. Указание гласит: «Докажите равенство углов А и D, затем примените признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему к нему острому углу».
• Из рисунка видно, что $$\angle BAC$$ и $$\angle BDC$$ являются прямыми углами.
• Рассмотрим $$\triangle ABC$$ и $$\triangle DCB$$.
• $$AB = DC$$ (дано).
• $$\angle BAC = 90^{\circ}$$ (дано).
• $$\angle BDC = 90^{\circ}$$ (дано).
• $$AC$$ и $$BD$$ являются диагоналями, пересекающимися в точке $$O$$.
• Рассмотрим $$\triangle ABO$$ и $$\triangle DCO$$.
• $$AB = DC$$ (дано).
• $$\angle OAB = \angle ODC$$ (накрест лежащие при $$AC \parallel BD$$ и секущей $$AD$$? Нет, не следует $$AC \parallel BD$$).
• $$\angle OBA = \angle OCD$$ (накрест лежащие при $$BD \parallel AC$$ и секущей $$BD$$? Нет).
• $$\angle AOB = \angle DOC$$ (вертикальные).
• По признаку «угол-сторона-угол» (УСУ) для $$\triangle ABO$$ и $$\triangle DCO$$, если бы $$AC = BD$$, то треугольники были бы равны.
• Вернемся к указанию: «Докажите равенство углов А и D». На рисунке показаны прямоугольные треугольники.
• Углы при вершинах A и D, где обозначены прямые углы, являются прямыми углами.
• Рассмотрим $$\triangle ABC$$ и $$\triangle DCB$$.
• $$AB = DC$$ (дано).
• $$BC$$ – общая сторона.
• $$\angle ABC$$ и $$\angle DCB$$ не обязательно равны.
• Предположим, что $$AC$$ и $$BD$$ являются диагоналями некоторой фигуры.
• Рассмотрим $$\triangle ABO$$ и $$\triangle DCO$$.
• $$AB = DC$$ (дано).
• $$\angle OAB$$ и $$\angle ODC$$ – накрест лежащие углы при $$AC \parallel BD$$ и секущей $$AD$$. Следовательно, $$AC \parallel BD$$.
• $$\angle OBA$$ и $$\angle OCD$$ – накрест лежащие углы при $$AB \parallel DC$$ и секущей $$BD$$. Следовательно, $$AB \parallel DC$$.
• Если $$AB \parallel DC$$ и $$AC \parallel BD$$, то $$ACDB$$ – параллелограмм.
• В параллелограмме диагонали пересекаются в точке $$O$$, и $$AO=OC$$, $$BO=OD$$.
• Если $$ACDB$$ – параллелограмм, то $$AB=DC$$ и $$AC=BD$$.
• Но это не соответствует условию, где $$AC$$ и $$BD$$ – это гипотенузы или катеты прямоугольных треугольников.
• Анализируем рисунок снова.
• У нас есть два прямоугольных треугольника: один с вершинами A, B, O (где $$\angle B = 90^{\circ}$$) и другой с вершинами D, C, O (где $$\angle C = 90^{\circ}$$).
• $$AB$$ и $$DC$$ отмечены одинаковыми штрихами, что означает $$AB = DC$$.
• Углы $$\angle BAO$$ и $$\angle CDO$$ не обязательно равны.
• Углы $$\angle AOB$$ и $$\angle DOC$$ являются вертикальными, значит $$\angle AOB = \angle DOC$$.
• Мы имеем: $$AB = DC$$, $$\angle ABO = \angle DCO = 90^{\circ}$$, $$\angle AOB = \angle DOC$$.
• По признаку равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам (УСУ), если бы $$AO = DO$$ и $$BO = CO$$, то треугольники были бы равны.
• Перечитываем указание: «Докажите равенство углов А и D». На рисунке, углы A и D отмечены как вершины треугольников, где проведены перпендикуляры.
• Пусть $$\triangle ABO$$ – первый прямоугольный треугольник, где $$\angle ABO = 90^{\circ}$$.
• Пусть $$\triangle DCO$$ – второй прямоугольный треугольник, где $$\angle DCO = 90^{\circ}$$.
• $$AB$$ и $$DC$$ – катеты. $$AO$$ и $$DO$$ – гипотенузы.
• $$AB = DC$$ (дано).
• $$\angle AOB = \angle DOC$$ (вертикальные углы).
• По признаку равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу, нам нужно доказать равенство острых углов.
• Указание: «Докажите равенство углов А и D».
• Рассмотрим $$\triangle AOC$$ и $$\triangle DOB$$.
• $$AO = DO$$ и $$CO = BO$$? Нет, не следует.
• Предположим, что углы A и D, которые нужно доказать равными, это $$\angle BAO$$ и $$\angle CDO$$.
• Если $$\angle BAO = \angle CDO$$ (углы A и D из указания), и $$AB = DC$$ (катеты), и $$\angle ABO = \angle DCO = 90^{\circ}$$, то по признаку равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу ($$f{катет ext{ и bsp} острый bsp} угол}$$), $$\triangle ABO = \triangle DCO$$.
• Как доказать равенство углов A и D?
• На рисунке, в $$\triangle ABO$$, угол A – это $$\angle BAO$$, угол B – $$\angle ABO = 90^{\circ}$$.
• В $$\triangle DCO$$, угол D – это $$\angle CDO$$, угол C – $$\angle DCO = 90^{\circ}$$.
• Углы $$\angle AOB$$ и $$\angle DOC$$ – вертикальные, значит $$\angle AOB = \angle DOC$$.
• В $$\triangle ABO$$: $$\angle BAO + \angle ABO + \angle AOB = 180^{\circ}$$. $$\angle BAO + 90^{\circ} + \angle AOB = 180^{\circ}$$. $$\angle BAO = 90^{\circ} - \angle AOB$$.
• В $$\triangle DCO$$: $$\angle CDO + \angle DCO + \angle DOC = 180^{\circ}$$. $$\angle CDO + 90^{\circ} + \angle DOC = 180^{\circ}$$. $$\angle CDO = 90^{\circ} - \angle DOC$$.
• Так как $$\angle AOB = \angle DOC$$, то $$\angle BAO = \angle CDO$$.
• Таким образом, углы A и D (т.е. $$\angle BAO$$ и $$\angle CDO$$) равны.
• Теперь применяем признак равенства прямоугольных треугольников:
• Катет: $$AB = DC$$ (дано).
• Прилежащий острый угол: $$\angle BAO = \angle CDO$$ (доказано).
• По признаку равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу ($$f{катет ext{ и bsp} острый bsp} угол}$$), $$\triangle ABO = \triangle DCO$$.
• Следовательно, равенство прямоугольных треугольников доказано.