28. Через точки B₁ и B₂ стороны AB равностороннего треугольника ABC проведены плоскости α и β, параллельные прямой BC. 1) На какие фигуры делится этот треугольник плоскостями α и β? 2) Вычислите периметры этих фигур, если AC = 8 см и AB₁ = B₁B₂ = B₂B.

1) Пересечения плоскостей α и β с плоскостью треугольника параллельны BC. Они делят треугольник на один треугольник и два трапеции.

2) Так как ABC — равносторонний, AB = AC = BC = 8 см. Отрезок AB разделён на три равные части:

AB₁ = B₁B₂ = B₂B = 8 : 3 = 8/3 см.

Пусть прямые пересечения плоскостей α и β со стороной AC проходят через точки C₁ и C₂. По подобию треугольников получаем BC₁ = 8/3 см, BC₂ = 16/3 см, AC₁ = 8/3 см и C₁C₂ = 8/3 см.

Малый треугольник AB₁C₁ равносторонний, поэтому его периметр:

P₁ = 3 · 8/3 = 8 см.

Средняя трапеция B₁B₂C₂C₁ имеет стороны 8/3, 8/3, 8/3 и 16/3 см:

P₂ = 8/3 + 8/3 + 8/3 + 16/3 = 40/3 = 13⅓ см.

Нижняя трапеция B₂BCC₂ имеет стороны 8/3, 8, 8/3 и 16/3 см:

P₃ = 8/3 + 8 + 8/3 + 16/3 = 40/3 = 13⅓ см.

Ответ: фигуры — треугольник и две трапеции; их периметры соответственно 8 см, 13⅓ см и 13⅓ см.