28. Найдите значение выражения: а) \( \frac{20}{31} \cdot \left( 10 \frac{1}{2} - 2 \frac{4}{5} + 3 \frac{7}{9} \right) : 1 \frac{2}{9} \)

Решение:

Сначала вычислим значение в скобках:

1. Приведем смешанные числа к неправильным дробям:
• \[ 10 \frac{1}{2} = \frac{10 \times 2 + 1}{2} = \frac{21}{2} \]
• \[ 2 \frac{4}{5} = \frac{2 \times 5 + 4}{5} = \frac{14}{5} \]
• \[ 3 \frac{7}{9} = \frac{3 \times 9 + 7}{9} = \frac{34}{9} \]
2. Выполним вычитание и сложение в скобках. Общий знаменатель для 2, 5 и 9 равен 90:
• \[ \frac{21}{2} - \frac{14}{5} + \frac{34}{9} = \frac{21 \times 45}{90} - \frac{14 \times 18}{90} + \frac{34 \times 10}{90} = \frac{945 - 252 + 340}{90} = \frac{1033}{90} \]
3. Теперь выполним деление. Приведем смешанное число
   The OCR result was misinterpreted. It should be: 1 \(\frac{2}{9}\) = \(\frac{1 \times 9 + 2}{9}\) = \(\frac{11}{9}\)
• \[ \frac{1033}{90} : \frac{11}{9} = \frac{1033}{90} \times \frac{9}{11} = \frac{1033}{10 \times 11} = \frac{1033}{110} \]
4. Теперь умножим результат на
   The OCR result was misinterpreted. It should be: \(\frac{20}{31}\)
• \[ \frac{20}{31} \times \frac{1033}{110} = \frac{2}{31} \times \frac{1033}{11} \]
5. Проверим, делится ли 1033 на 31.
• \[ 1033 : 31 = 33.32... \]
6. Проверим, делится ли 1033 на 11.
• \[ 1033 : 11 = 93.9... \]
7. Похоже, в OCR была ошибка. Попробуем найти делители 1033. 1033 - простое число.
8. Значит, ответ остается в виде дроби:
• \[ \frac{20 \times 1033}{31 \times 110} = \frac{20660}{3410} = \frac{2066}{341} \]
9. Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на 11:
• \[ \frac{2066 \div 11}{341 \div 11} = \frac{187.8...}{31} \]
10. Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на 31:
• \[ \frac{2066 \div 31}{341 \div 31} = \frac{66.6...}{11} \]
11. Давайте пересчитаем.
12. \[ 10 \frac{1}{2} - 2 \frac{4}{5} + 3 \frac{7}{9} = \frac{21}{2} - \frac{14}{5} + \frac{34}{9} \]
13. Общий знаменатель = 90.
14. \[ \frac{21 \times 45}{90} - \frac{14 \times 18}{90} + \frac{34 \times 10}{90} = \frac{945 - 252 + 340}{90} = \frac{1033}{90} \]
15. \[ 1 \frac{2}{9} = \frac{11}{9} \]
16. \[ \frac{1033}{90} : \frac{11}{9} = \frac{1033}{90} \times \frac{9}{11} = \frac{1033}{10 \times 11} = \frac{1033}{110} \]
17. \[ \frac{20}{31} \times \frac{1033}{110} = \frac{2}{31} \times \frac{1033}{11} = \frac{2066}{341} \]
18. \[ \frac{2066}{341} = 6 \frac{80}{341} \]

Ответ: 6 \(\frac{80}{341}\)