28. Постройте график функции $y=-\frac13x^2+4x-4$. а) Найдите значения $y$ при $x=3$; $x=1$. б) Найдите значения $x$, при которых $y=4$; $-1$. в) Найдите нули функции и промежутки знакопостоянства. г) Укажите промежутки возрастания и убывания функции; наименьшее и наибольшее значения функции.

Question

Вопрос: $Фото задания: 28. Постройте график функции $y=-\frac13x^2+4x-4$. а) Найдите значения $y$ при $x=3$; $x=1$. б) Найдите значения…$ Фото задания

28. Постройте график функции $y=-\frac13x^2+4x-4$. а) Найдите значения $y$ при $x=3$; $x=1$. б) Найдите значения $x$, при которых $y=4$; $-1$. в) Найдите нули функции и промежутки знакопостоянства. г) Укажите промежутки возрастания и убывания функции; наименьшее и наибольшее значения функции.

Accepted Answer

Выделим квадрат: $y=-\frac13(x-6)^2+8$. Значит, график — парабола с вершиной $(6;8)$, осью симметрии $x=6$ и ветвями, направленными вниз.

а) Подставляем указанные значения аргумента:

при $x=3$: $y=-\frac13\cdot9+12-4=5$;
при $x=1$: $y=-\frac13+4-4=-\frac13$.

б) При $y=4$: $-\frac13(x-6)^2+8=4$, откуда $(x-6)^2=12$, поэтому $x=6\pm2\sqrt3$.

При $y=-1$: $-\frac13(x-6)^2+8=-1$, откуда $(x-6)^2=27$, поэтому $x=6\pm3\sqrt3$.

в) Нули находятся из $-\frac13x^2+4x-4=0$. Умножая на $-3$, получаем $x^2-12x+12=0$, поэтому $x=6\pm2\sqrt6$. Поскольку ветви направлены вниз, функция положительна между нулями и отрицательна вне промежутка между ними.

г) До вершины функция возрастает, после вершины убывает. Наибольшее значение равно ординате вершины; наименьшего значения нет, так как при удалении от вершины вниз функция не ограничена.

Ответ: а) $5; -\frac13$; б) при $y=4$: $x=6\pm2\sqrt3$, при $y=-1$: $x=6\pm3\sqrt3$; в) нули $6-2\sqrt6$ и $6+2\sqrt6$, функция положительна на $(6-2\sqrt6;6+2\sqrt6)$, отрицательна на $(-;6-2\sqrt6)\cup(6+2\sqrt6;+)$; г) возрастает на $(-;6]$, убывает на $[6;+)$, наибольшее значение $8$, наименьшего нет.