28. Сторона АВ треугольника АВС равна √2, радиус описанной окружности равен 1. Найдите угол С. Ответ дайте в градусах.

Решение:

По теореме синусов, для треугольника ABC, вписанного в окружность, справедливо соотношение:

\( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \)

Где \( a, b, c \) — стороны треугольника, \( A, B, C \) — противолежащие углы, а \( R \) — радиус описанной окружности.

В нашем случае, сторона \( AB \) (обозначим её \( c \)) равна \( \sqrt{2} \), а радиус описанной окружности \( R = 1 \).

Используем формулу для стороны \( c \) и угла \( C \):

\( \frac{c}{\sin C} = 2R \)

Подставим известные значения:

\( \frac{\sqrt{2}}{\sin C} = 2 \cdot 1 \)

\( \frac{\sqrt{2}}{\sin C} = 2 \)

Выразим \( \sin C \):

\( \sin C = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Углы, синус которых равен \( \frac{\sqrt{2}}{2} \), это \( 45^{\circ} \) и \( 135^{\circ} \).

Поскольку \( C \) — угол треугольника, он может быть как острым, так и тупым. Однако, если \( C = 135^{\circ} \), то оставшиеся углы \( A + B = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ} \). Это возможно.

Если \( C = 45^{\circ} \), то \( A + B = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ} \). Это также возможно.

Однако, обратите внимание на рисунок. Угол C на нем выглядит тупым.

Ответ: 135.