28. Тип 17 № 11039 i Задумали трёхзначное число, все цифры которого различны и первая цифра которого четная. Из него вычли трехзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 495. Найдите сумму наименьшего и наибольшего чисел, удовлетворяющих таким условиям.

Решение:

1. Обозначим число: Пусть трехзначное число будет представлено как \[ 100a + 10b + c \], где
   • a — первая цифра (сотни)
   • b — вторая цифра (десятки)
   • c — третья цифра (единицы)
2. Условия задачи:
   • Цифры различны: \[ a
     eq b, \quad a
     eq c, \quad b
     eq c \]
   • Первая цифра четная: \[ a \in \{2, 4, 6, 8\} \]
   • Обратное число: \[ 100c + 10b + a \]
   • Разность равна 495: \[ (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 495 \]
3. Упростим уравнение: \[ 100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 495 \] \[ 99a - 99c = 495 \] \[ 99(a - c) = 495 \] \[ a - c = \frac{495}{99} \] \[ a - c = 5 \]
4. Найдем пары цифр (a, c) удовлетворяющие условиям:
   • a — четная цифра из \[ \{2, 4, 6, 8\} \]
   • c — любая цифра от 0 до 9
   • a \[
     eq c \]
   • \[ a - c = 5 \]

   Рассмотрим возможные значения для \[ a \]:

   • Если \[ a = 2 \], то \[ c = 2 - 5 = -3 \] (не подходит, так как \[ c \] должно быть цифрой).
   • Если \[ a = 4 \], то \[ c = 4 - 5 = -1 \] (не подходит).
   • Если \[ a = 6 \], то \[ c = 6 - 5 = 1 \]. Пара \[ (a=6, c=1) \]. Цифры различны, \[ a \] четная.
   • Если \[ a = 8 \], то \[ c = 8 - 5 = 3 \]. Пара \[ (a=8, c=3) \]. Цифры различны, \[ a \] четная.
5. Найдем число \[ b \]:
   • Цифра \[ b \] может быть любой цифрой от 0 до 9, но \[ b \] не должна быть равна \[ a \] или \[ c \].
   • Для пары (6, 1): \[ a=6, c=1 \]. \[ b \] может быть любой цифрой, кроме 6 и 1.
   • Для пары (8, 3): \[ a=8, c=3 \]. \[ b \] может быть любой цифрой, кроме 8 и 3.
6. Найдем наименьшее и наибольшее числа:
   • Наименьшее число:
     • Чтобы число было наименьшим, \[ b \] должно быть наименьшим возможным.
     • Для \[ a=6, c=1 \], наименьшее \[ b \] (не равное 6 и 1) — это \[ b=0 \]. Число: \[ 601 \].
     • Для \[ a=8, c=3 \], наименьшее \[ b \] (не равное 8 и 3) — это \[ b=0 \]. Число: \[ 803 \].
     • Сравнивая \[ 601 \] и \[ 803 \], наименьшее число — \[ 601 \].
   • Наибольшее число:
     • Чтобы число было наибольшим, \[ b \] должно быть наибольшим возможным.
     • Для \[ a=6, c=1 \], наибольшее \[ b \] (не равное 6 и 1) — это \[ b=9 \]. Число: \[ 691 \].
     • Для \[ a=8, c=3 \], наибольшее \[ b \] (не равное 8 и 3) — это \[ b=9 \]. Число: \[ 893 \].
     • Сравнивая \[ 691 \] и \[ 893 \], наибольшее число — \[ 893 \].
7. Найдем сумму наименьшего и наибольшего чисел: \[ 601 + 893 = 1494 \]

Ответ: 1494