28. Точку на катете прямоугольного треугольника соединили отрезками с серединой его гипотенузы и вершиной, противоположной этому катету. Оказалось, что отмеченные на рисунке углы равны. В каком отношении данная точка делит катет?

Обозначим прямоугольный треугольник через \(ABC\), где \(\angle C=90^\circ\), точка \(P\) лежит на катете \(AC\), а \(M\) — середина гипотенузы \(AB\). По рисунку отрезок \(PM\) делит угол \(\angle APC\) пополам.

1. Рассмотрим треугольник \(APB\). Так как \(M\) — середина \(AB\), то \(AM=MB\).
2. По теореме о биссектрисе в треугольнике \(APB\): \(\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{AP}{PB}\). Следовательно, \(AP=PB\).

Ответ: точка делит катет пополам, в отношении \(1:1\).