28. В треугольнике ABC отмечены середины M и N сторон BC и AC соответственно. Площадь треугольника CNM равна 71. Найдите площадь четырёхугольника ABMN.

Решение:

M — середина BC, N — середина AC.

Следовательно, MN — средняя линия треугольника ABC, параллельная стороне AB.

Средняя линия отсекает от треугольника подобный треугольник (CMN подобен CBA).

Коэффициент подобия k = CM/CB = CN/CA = MN/AB = 1/2.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

• \( S_{CNM} / S_{CBA} = k^2 = (1/2)^2 = 1/4 \)

Площадь треугольника CNM равна 71.

• \( 71 / S_{CBA} = 1/4 \)
• \( S_{CBA} = 71 \times 4 = 284 \)

Площадь четырёхугольника ABMN равна разности площади треугольника ABC и площади треугольника CNM:

• \( S_{ABMN} = S_{CBA} - S_{CNM} \)
• \( S_{ABMN} = 284 - 71 = 213 \)

Ответ: 213