2804. В прямоугольнике расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшей стороны на 1 больше, чем расстояние от нее до большей стороны. Периметр прямоугольника равен 28. Найдите меньшую сторону прямоугольника.

Решение:

Пусть \( a \) — большая сторона прямоугольника, а \( b \) — меньшая сторона. Периметр прямоугольника равен \( P = 2(a + b) \). По условию \( P = 28 \), значит \( 2(a + b) = 28 \), или \( a + b = 14 \).

Точка пересечения диагоналей — это центр прямоугольника. Расстояние от центра до сторон пропорционально длине этих сторон. Обозначим расстояние от центра до большей стороны как \( h_a \) и до меньшей стороны как \( h_b \).

Тогда \( h_a = \frac{b}{2} \) и \( h_b = \frac{a}{2} \).

По условию, расстояние до меньшей стороны на 1 больше, чем до большей: \( h_b = h_a + 1 \).

Подставим выражения для \( h_a \) и \( h_b \):

\[ \frac{a}{2} = \frac{b}{2} + 1 \]\[ a = b + 2 \]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[ \begin{cases} a + b = 14 \\ a = b + 2 \end{cases} \]

Подставим второе уравнение в первое:

\[ (b + 2) + b = 14 \]\[ 2b + 2 = 14 \]\[ 2b = 12 \]\[ b = 6 \]

Найдем \( a \): \( a = 6 + 2 = 8 \).

Меньшая сторона равна \( b \).

Ответ: 6