Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
а)
Упростим каждую скобку:
\(1-\dfrac{3x^2}{1-x^2}=\dfrac{1-x^2-3x^2}{1-x^2}=\dfrac{1-4x^2}{1-x^2}\), а \(\dfrac{x}{x+1}+1=\dfrac{2x+1}{x+1}\).
Деление заменим умножением на обратную дробь и разложим разности квадратов:
\[\dfrac{1-4x^2}{1-x^2}\cdot\dfrac{x+1}{2x+1}=\dfrac{(1-2x)(1+2x)}{(1-x)(1+x)}\cdot\dfrac{x+1}{2x+1}=\dfrac{1-2x}{1-x}.\]
Ограничения исходного выражения: \(x\ne-1,1,-\dfrac12\).
б)
Приведём дроби в каждой скобке к общему знаменателю:
\[\dfrac{a+b}{b}-\dfrac{a}{a+b}=\dfrac{(a+b)^2-ab}{b(a+b)},\qquad \dfrac{a+b}{a}-\dfrac{b}{a+b}=\dfrac{(a+b)^2-ab}{a(a+b)}.\]
Числитель обеих дробей одинаков, поэтому при делении дробей он сокращается:
\[\dfrac{(a+b)^2-ab}{b(a+b)}:\dfrac{(a+b)^2-ab}{a(a+b)}=\dfrac{a}{b}.\]
Для исходного выражения необходимо, чтобы \(a\ne0\), \(b\ne0\), \(a+b\ne0\).
в)
Разложим разность кубов: \(a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)\). Приведём выражение к общему знаменателю:
\[\dfrac{3a^2-a+3-(a-1)^2-2(a^2+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)}.\]
В числителе подобные слагаемые сокращаются: \(3a^2-a+3-(a^2-2a+1)-2a^2-2a-2=-a\). Следовательно,
\[\dfrac{-a}{(a-1)(a^2+a+1)}=\dfrac{a}{1-a^3}.\]
Ограничение: \(a\ne1\).
г)
Упростим выражение в первой скобке:
\[\dfrac{2b}{1-b}-b=\dfrac{2b-b(1-b)}{1-b}=\dfrac{b(b+1)}{1-b}.\]
Заменим деление умножением на обратную дробь и учтём, что \(1-b=-(b-1)\):
\[\dfrac{b(b+1)}{1-b}:\dfrac{3(b+1)}{b-1}=-\dfrac{b}{3}.\]
Ограничения исходного выражения: \(b\ne1\) и \(b\ne-1\).
д)
Приведём выражение в скобках к общей дроби:
\[a-x+\dfrac{x^2}{a+x}=\dfrac{(a-x)(a+x)+x^2}{a+x}=\dfrac{a^2}{a+x}.\]
Умножим на оставшуюся дробь и сократим на \(a\):
\[\dfrac{a^2}{a+x}\cdot\dfrac{a-x}{a}=\dfrac{a(a-x)}{a+x}.\]
Ограничения исходного выражения: \(a\ne0\), \(a+x\ne0\).
Ответ: а) \(\dfrac{1-2x}{1-x}\); б) \(\dfrac{a}{b}\); в) \(\dfrac{a}{1-a^3}\); г) \(-\dfrac{b}{3}\); д) \(\dfrac{a(a-x)}{a+x}\).
