285. Упростите выражение: а) \(\left(1-\frac{3x^2}{1-x^2}\right):\left(\frac{x}{x+1}+1\right)\); б) \(\left(\frac{a+b}{b}-\frac{a}{a+b}\right):\left(\frac{a+b}{a}-\frac{b}{a+b}\right)\); в) \(\frac{3a^2-a+3}{a^3-1}-\frac{a-1}{a^2+a+1}+\frac{2}{1-a}\); г) \(\left(\frac{2b}{1-b}-b\right):\frac{3b+3}{b-1}\); д) \(\left\(a-x+\frac{x^2}{a+x}\right\)\(\cdot\)\(\frac{a-x}{a}\).

а)

Разложим: \(1-x^2=(1-x)(1+x)\).

\(1-\frac{3x^2}{1-x^2}=\frac{1-x^2-3x^2}{1-x^2}=\frac{1-4x^2}{1-x^2}=\frac{(1-2x)(1+2x)}{(1-x)(1+x)}\).

\(\frac{x}{x+1}+1=\frac{2x+1}{x+1}\).

Делим дроби и сокращаем: \(\frac{(1-2x)(1+2x)}{(1-x)(1+x)}\cdot\frac{x+1}{2x+1}=\frac{1-2x}{1-x}\).

б)

\(\frac{a+b}{b}-\frac{a}{a+b}=\frac{(a+b)^2-ab}{b(a+b)}=\frac{a^2+ab+b^2}{b(a+b)}\).

Аналогично \(\frac{a+b}{a}-\frac{b}{a+b}=\frac{a^2+ab+b^2}{a(a+b)}\).

Следовательно, частное равно \(\frac{a}{b}\).

в)

Так как \(a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)\), приводим к общему знаменателю:

\(\frac{3a^2-a+3}{(a-1)(a^2+a+1)}-\frac{(a-1)^2}{(a-1)(a^2+a+1)}-\frac{2(a^2+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)}\).

Числитель: \(3a^2-a+3-(a-1)^2-2(a^2+a+1)= -4a\).

Итак, результат: \(-\frac{4a}{(a-1)(a^2+a+1)}=-\frac{4a}{a^3-1}\).

г)

\(\frac{2b}{1-b}-b=\frac{2b-b(1-b)}{1-b}=\frac{b(b+1)}{1-b}\).

\(\frac{3b+3}{b-1}=\frac{3(b+1)}{b-1}\).

\(\frac{b(b+1)}{1-b}:\frac{3(b+1)}{b-1}=\frac{b(b+1)}{-(b-1)}\cdot\frac{b-1}{3(b+1)}=-\frac b3\).

д)

\(a-x+\frac{x^2}{a+x}=\frac{(a-x)(a+x)+x^2}{a+x}=\frac{a^2}{a+x}\).

Тогда \(\frac{a^2}{a+x}\cdot\frac{a-x}{a}=\frac{a(a-x)}{a+x}\).

Ответ: а) \(\frac{1-2x}{1-x}\); б) \(\frac ab\); в) \(-\frac{4a}{a^3-1}\); г) \(-\frac b3\); д) \(\frac{a(a-x)}{a+x}\).