Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 287. Решите неравенство: a) (x-2)(x-5)(x-12) > 0; б) (x + 7)(x + 1)(x-4) < 0; в) x(x + 1)(x + 5)(x-8) > 0.Фото задания

Ответ:

Краткое пояснение: Для решения таких неравенств нужно найти корни каждого множителя, отметить их на числовой прямой и определить знаки интервалов методом пробной точки или методом интервалов.

Пошаговое решение:

  1. а) \[ (x-2)(x-5)(x-12) > 0 \]
    1. Находим корни: \( x=2, x=5, x=12 \).
    2. Отмечаем корни на числовой прямой: 2, 5, 12.
    3. Определяем знаки интервалов. Возьмем пробную точку, например, \( x=0 \): \( (0-2)(0-5)(0-12) = (-2)(-5)(-12) = -120 < 0 \).
    4. Знаки интервалов: -, +, -, +.
    5. Решение: \( x \in (2; 5) \cup (12; +\infty) \).
  2. б) \[ (x + 7)(x + 1)(x-4) < 0 \]
    1. Находим корни: \( x=-7, x=-1, x=4 \).
    2. Отмечаем корни на числовой прямой: -7, -1, 4.
    3. Определяем знаки интервалов. Возьмем пробную точку, например, \( x=0 \): \( (0+7)(0+1)(0-4) = (7)(1)(-4) = -28 < 0 \).
    4. Знаки интервалов: -, +, -, +.
    5. Решение: \( x \in (-\infty; -7) \cup (-1; 4) \).
  3. в) \[ x(x + 1)(x + 5)(x-8) > 0 \]
    1. Находим корни: \( x=0, x=-1, x=-5, x=8 \).
    2. Отмечаем корни на числовой прямой: -5, -1, 0, 8.
    3. Определяем знаки интервалов. Возьмем пробную точку, например, \( x=-10 \): \( (-10)(-10+1)(-10+5)(-10-8) = (-10)(-9)(-5)(-18) > 0 \).
    4. Знаки интервалов: +, -, +, -, +.
    5. Решение: \( x \in (-\infty; -5) \cup (-1; 0) \cup (8; +\infty) \).

Ответ: а) x ∈ (2; 5) ∪ (12; +∞); б) x ∈ (-∞; -7) ∪ (-1; 4); в) x ∈ (-∞; -5) ∪ (-1; 0) ∪ (8; +∞).