287. Решите неравенство: a) (x-2)(x-5)(x12) > 0; б) (x + 7)(x + 1)(x-4) < 0; в) x(x + 1)(x + 5)(x8) > 0.

Привет! Давай разберем эти неравенства вместе. Это задания из алгебры, так что будем использовать метод интервалов.

Общий принцип для решения таких неравенств:

1. Найди корни каждого множителя (где выражение равно нулю).
2. Отметь эти корни на числовой прямой.
3. Определи знак выражения на каждом интервале, который получился.
4. Выбери те интервалы, которые удовлетворяют знаку неравенства (> 0 — положительные значения, < 0 — отрицательные).

а) (x - 2)(x - 5)(x - 12) > 0

1. Находим корни:
   x - 2 = 0 => x = 2
   x - 5 = 0 => x = 5
   x - 12 = 0 => x = 12
2. Отмечаем на числовой прямой:
   У нас три корня: 2, 5, 12. Они делят прямую на 4 интервала: (-∞; 2), (2; 5), (5; 12), (12; +∞).
3. Определяем знак:
   Все множители имеют положительный коэффициент при 'x'. Значит, справа от самого большого корня (12) выражение будет положительным. Затем знаки чередуются: + (12; +∞), - (5; 12), + (2; 5), - (-∞; 2).
4. Выбираем нужные интервалы:
   Нам нужно, чтобы выражение было больше 0 (> 0), то есть положительным.

Ответ: x ∈ (-∞; 2) ∪ (5; 12) ∪ (12; +∞)

б) (x + 7)(x + 1)(x - 4) < 0

1. Находим корни:
   x + 7 = 0 => x = -7
   x + 1 = 0 => x = -1
   x - 4 = 0 => x = 4
2. Отмечаем на числовой прямой:
   Корни: -7, -1, 4. Интервалы: (-∞; -7), (-7; -1), (-1; 4), (4; +∞).
3. Определяем знак:
   Все множители положительные при 'x'. Начинаем справа: + (4; +∞), - (-1; 4), + (-7; -1), - (-∞; -7).
4. Выбираем нужные интервалы:
   Нам нужно, чтобы выражение было меньше 0 (< 0), то есть отрицательным.

Ответ: x ∈ (-∞; -7) ∪ (-1; 4)

в) x(x + 1)(x + 5)(x - 8) > 0

1. Находим корни:
   x = 0
   x + 1 = 0 => x = -1
   x + 5 = 0 => x = -5
   x - 8 = 0 => x = 8
2. Отмечаем на числовой прямой:
   Корни: -5, -1, 0, 8. Интервалы: (-∞; -5), (-5; -1), (-1; 0), (0; 8), (8; +∞).
3. Определяем знак:
   Все множители положительные при 'x'. Начинаем справа: + (8; +∞), - (0; 8), + (-1; 0), - (-5; -1), + (-∞; -5).
4. Выбираем нужные интервалы:
   Нам нужно, чтобы выражение было больше 0 (> 0), то есть положительным.

Ответ: x ∈ (-∞; -5) ∪ (-1; 0) ∪ (8; +∞)

Надеюсь, теперь все понятно! Если остались вопросы, спрашивай.