288. Найдите все целые значения \(a\), при которых корень уравнения \(ax-x=2a^2-3a-2\) является: а) целым числом; б) натуральным числом.

Перенесём коэффициент при \(x\): \(x(a-1)=2a^2-3a-2\). При \(a=1\) получаем равенство \(0=-3\), поэтому корня нет.

При \(a\ne1\) разделим на \(a-1\):

\[x=\frac{2a^2-3a-2}{a-1}=2a-1-\frac{3}{a-1}.\]

Если \(a\) целое, то \(x\) целое тогда и только тогда, когда \(a-1\) — делитель числа 3. Значит, \(a-1\in\{-3,-1,1,3\}\), откуда \(a\in\{-2,0,2,4\}\).

Подставим эти значения: при \(a=-2\), \(x=-4\); при \(a=0\), \(x=2\); при \(a=2\), \(x=0\); при \(a=4\), \(x=6\).

Ответ: а) \(a=-2, 0, 2, 4\); б) \(a=0, 4\), если натуральные числа считаются положительными. Если в вашем учебнике \(0\) относят к натуральным числам, то в пункте б) также подходит \(a=2\).