289. Докажите, что: а) \(3^7-3^5+27^2-1\) делится на 16; б) \(8^4-4^3-2^9-16\) делится на 16.

а)

Сгруппируем слагаемые:

\(3^7-3^5+27^2-1=3^5(3^2-1)+(27-1)(27+1)\).

\(3^5(9-1)=3^5\cdot8\) делится на 8 и даёт остаток 8 при делении на 16.

\(27^2-1=(27-1)(27+1)=26\cdot28\) также даёт остаток 8 при делении на 16.

Сумма остатков: \(8+8=16\), значит, всё выражение делится на 16.

б)

Каждое слагаемое делится на 16:

\(8^4=2^{12}\), \(4^3=2^6\), \(2^9\) и \(16=2^4\).

Следовательно, разность чисел, кратных 16, также кратна 16.

Ответ: оба выражения делятся на 16.